Determinar uma base e a dimensão do subespaço
V=(x, y, z, t) in R^4 ; x+y+z+t=0 e x+y+2 z=0

Passo 1

O enunciado pede a base e a dimensão do subespaço
V=(x,y,z,t)inR^4 mid x+y+z+t=0,;x+y+2z=0
Este é um problema de Álgebra Linear: vamos resolver o sistema homogêneo dado pelas duas equações lineares, parametrizar a solução e extrair uma base e a dimensão.

Passo 2

Escrevemos as equações:
x+y+z+t=0, x+y+2z=0
Subtraindo a primeira da segunda obtemos
(x+y+2z)-(x+y+z+t)=0;Longrightarrow;z-t=0;Longrightarrow;z=t

Passo 3

Substituindo z=t em qualquer das equações, por exemplo em x+y+2z=0, vem
x+y+2t=0;Longrightarrow;y=-x-2t
Assim a solução geral é
(x,y,z,t)=(x,,-x-2t,,t,,t)

Passo 4

Agora expressamos em forma de combinação linear, tomando x e t como parâmetros livres:
(x,y,z,t) = x,(1,,-1,,0,,0)+t,(0,,-2,,1,,1)
Dessa forma os vetores (1,-1,0,0) e (0,-2,1,1) geram V.

Passo 5

Como temos dois parâmetros livres, a dimensão de V é 2.

Resposta

Uma base de V é (1,-1,0,0),(0,-2,1,1) e dim(V)=2.

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