Seja T um operador de R^3 definido por
T(x, y, 又 )=(2 x, 4 x-y, 2 x+3 y-z). Mostre que T é invertível e determine T^-1.

Passo 1

O enunciado define um operador linear
Tcolon R^3toR^3 por
T(x,y,z) = (2x,;4x - y,;2x + 3y - z)
Queremos mostrar que T é invertível e encontrar explicitamente T^-1.
Para isso vamos usar conceitos de matrizes de operadores lineares, determinante e resolução de sistemas lineares.

Passo 2

Como T é linear, sua matriz em relação à base canônica é
A = 2 & 0 & 0 4 & -1 & 0 2 & 3 & -1 ,
já que
T(e1)=(2,4,2),
T(e2)=(0,-1,3) e
T(e3)=(0,0,-1).
O determinante de A vale
det(A) = 2cdotdet-1 & 03 & -1 =2l((-1)cdot(-1)-3cdot0r) =2cdot1 =2neq0
Como det(A)neq0, concluímos que T é invertível.

Passo 3

Para achar
Da primeira equação segue
Substituindo em temos
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Resposta

T^-1(u,v,w) =l(tfracu2,;2u - v,;7u - 3v - wr)

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