Resolve o sistema seguinte
x+5 y+2 z & =2 a-1 2 x+8 y+3 z & =a+3 2 y+z & =2 a-2 2 x+3 y+z & =2 a+1
em dependência do parâmetro real a.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear
x + 5y + 2z = 2a - 1, 2x + 8y + 3z = a + 3, 2y + z = 2a - 2, 2x + 3y + z = 2a + 1
dependendo do parâmetro real a. O conteúdo é eliminação de variáveis (método de Gauss) para encontrar x,y,z em função de a, e depois impor a consistência de todas as equações.

Passo 2

Da terceira equação
2y + z = 2a - 2
isolamos z:
z = 2a - 2 - 2y

Passo 3

Substituindo essa expressão de z na primeira equação
x + 5y + 2z = 2a - 1
vem
x + 5y + 2l(2a - 2 - 2yr) = 2a - 1
x + 5y + 4a - 4 - 4y = 2a - 1
x + y + 4a - 4 = 2a - 1
x = -y - 2a + 3

Passo 4

Agora usamos a quarta equação
2x + 3y + z = 2a + 1,
substituindo z = 2a - 2 - 2y:
2x + 3y + (2a - 2 - 2y) = 2a + 1
2x + y + 2a - 2 = 2a + 1
2x + y = 3
Inserindo x = -y - 2a + 3 nesta última:
2l(-y - 2a + 3r) + y = 3
-2y - 4a + 6 + y = 3
-y = 4a - 3
y = 3 - 4a

Passo 5

Com y = 3 - 4a, voltamos em x = -y - 2a + 3:
x = -l(3 - 4ar) - 2a + 3 = 2a
E em z = 2a - 2 - 2y:
z = 2a - 2 - 2(3 - 4a) = 10a - 8

Passo 6

Falta verificar a segunda equação
2x + 8y + 3z = a + 3
Substituindo x=2a, y=3-4a, z=10a-8:
2(2a) + 8(3 - 4a) + 3(10a - 8) =4a +24 -32a +30a -24 =2a
Para ser igual a a+3 precisamos de
2a = a + 3 Longrightarrow a = 3

Resposta

O sistema é consistente somente se a=3. Nesse caso a solução única é
x = 6, y = -9, z = 22

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