Determinar qual é a base obtida de U=u1, u2, u3 pelo processo de Gram-Schmidt
u1=(-1,1,0), u2=(5,0,0) u3=(2,-2,3)

Passo 1

O enunciado pede para aplicar o processo de Gram–Schmidt ao conjunto
U=vec u1,vec u2,vec u3
com
vec u1=(-1,1,0),
vec u2=(5,0,0)
e
vec u3=(2,-2,3),
visando obter uma base ortogonal (ou ortonormal) do espaço gerado por U.

Passo 2

Primeiro vetor da base ortogonal é
vec v1=vec u1=(-1,1,0).

Passo 3

Agora subtraímos de vec u2 sua projeção sobre vec v1:
projv1(u2) =vec u2cdotvec v1vec v1cdotvec v1;vec v1 =-52,(-1,1,0) =(tfrac52,-tfrac52,0),
Então
vec v2 =vec u2-projv1(u2) =(5,0,0)-(tfrac52,-tfrac52,0) =(tfrac52,tfrac52,0),

Passo 4

Para vec v3 subtraímos de vec u3 as projeções sobre vec v1 e vec v2:
projv1(u3) =vec u3cdotvec v1vec v1cdotvec v1;vec v1 =-42,(-1,1,0) =(2,-2,0),,
vec u3cdotvec v2 =2cdottfrac52+(-2)cdottfrac52+3cdot0=0 Longrightarrow projv2(u3)=0
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vec v3 =vec u3-projv1(u3) =(2,-2,3)-(2,-2,0) =(0,0,3),

Resposta

Uma base ortogonal obtida é
,( -1,1,0 ),;(tfrac52,tfrac52,0),;(0,0,3),
Se quisermos uma base ortonormal, basta dividir cada vec vi por sua norma, obtendo
l(-1,1,0)raiz2,;(1,1,0)raiz2,;(0,0,1)r

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