A=[ccc 2 & 1 & 7 1 & 3 & 2 5 & 3 & 4 ], B=[ccc -666 & -1766 & 1966 -666 & 2766 & -366 1266 & 166 & -566 ]
i) Verifique, usando a definição, que B=A^-1.

Passo 1

O enunciado dá duas matrizes
A = 2 & 1 & 7 1 & 3 & 2 5 & 3 & 4 , B = -tfrac666 & -tfrac1766 & tfrac1966 -tfrac666 & tfrac2766 & -tfrac366 tfrac1266 & tfrac166 & -tfrac566
e pede para verificar, pela definição, que B é a inversa de A.
Conteúdo: inversão de matrizes por multiplicação e identidade.

Passo 2

Pela definição, B=A^-1 se e somente se
AB = I3 e BA = I3
Comecemos calculando AB. Para cada entrada (AB)ij fazemos a soma do produto das entradas da linha i de A pelos da coluna j de B:
(AB)11 =2l(-tfrac666r)+1l(-tfrac666r)+7l(tfrac1266r) =tfrac-12-6+8466=tfrac6666=1,
(AB)12 =2l(-tfrac1766r)+1l(tfrac2766r)+7l(tfrac166r) =tfrac-34+27+766=0,
(AB)13 =2l(tfrac1966r)+1l(-tfrac366r)+7l(-tfrac566r) =tfrac38-3-3566=0
Analogamente para as demais linhas, obtemos
AB = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1

Passo 3

Agora calculamos BA exatamente da mesma forma:
(BA)11 =-tfrac666cdot2+(-tfrac1766)cdot1+tfrac1966cdot5 =tfrac-12-17+9566=1,
(BA)12 =-tfrac666cdot1+(-tfrac1766)cdot3+tfrac1966cdot3 =tfrac-6-51+5766=0,
(BA)13 =-tfrac666cdot7+(-tfrac1766)cdot2+tfrac1966cdot4 =tfrac-42-34+7666=0,
e de modo análogo para as outras linhas chega-se a
BA = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1

Passo 4

Como AB = I3 e BA = I3, concluímos que B satisfaz a definição de inversa de A.

Resposta

Verificamos que
AB = BA = I3,
logo B = A^-1.

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