(1) x1+x2+x3 & =1 x1-x2+x3 & =0 -x1+x2+x3 & =-1,
(2) x1+x2+x3+x4 & =1 x1-x2+x4 & =2 x5+x6 & =0,
(3) ccc2 x1+x2+3 x3 & = & 8 4 x1+2 x2+6 x3 & = & 4 2 x1+x2+3 x3 & = & -12,
(4) ccc2 x1+4 x2+x3 & = & 1 5 x1-2 x2+x4 & = & 0 3 x1+x2+x3+x4 & = & 0 3 x2+2 x3 & = & 0
iii) Em cada caso, se possível, determine as variáveis livres e as variáveis básicas.

Passo 1

Estamos diante de quatro sistemas lineares e o objetivo é, para cada um deles, encontrar todas as soluções (se existirem) usando eliminação de Gauss, e em seguida identificar as variáveis básicas (as que são determinadas pelas equações) e as variáveis livres (as que podemos escolher arbitrariamente).

Passo 2

Sistema (1):
x1+x2+x3=1, x1-x2+x3=0, -,x1+x2+x3=-1
Fazendo E3 E3+E1 obtemos
0cdot x1+2x2+2x3=0;Longrightarrow;x2=-x3
Substituindo em E1:
x1+(-x3)+x3=1;Longrightarrow;x1=1
Em E2:
1-(-x3)+x3=0;Longrightarrow;1+2x3=0;Longrightarrow;x3=-tfrac12,;x2=tfrac12
Resultado: solução única
(x1,x2,x3)=l(1,tfrac12,-tfrac12r),
sem variáveis livres, todas são básicas.

Passo 3

Sistema (2):
x1+x2+x3+x4=1, x1-x2+x4=2, x5+x6=0
Aqui temos 6 incógnitas e 3 equações. O posto da matriz é 3, logo a dimensão do espaço de soluções é 6-3=3. Escolhemos livres
,x3,x4,x5.
Da terceira equação vem
x6=-,x5
e das duas primeiras resolvemos x1,x2:
E2:;x1=2+x2-x4,
E1:;(2+x2-x4)+x2+x3+x4=1 ;Longrightarrow;2+2x2+x3=1 ;Longrightarrow;x2=-tfrac1+x32,
x1=2-tfrac1+x32-x4=tfrac3-x32-x4
Logo a solução geral é
x1=tfrac3-x32-x4, x2=-tfrac1+x32, x6=-x5,
com variáveis livres x3,x4,x5 e básicas x1,x2,x6.

Passo 4

Sistema (3):
2x1+x2+3x3=8, 4x1+2x2+6x3=4, 2x1+x2+3x3=-12
A segunda equação é o dobro da primeira no lado dos coeficientes, mas 2cdot8neq4, o que gera contradição. Além disso a terceira é idêntica à primeira em coeficientes mas com termo independente diferente. Conclusão: sistema impossível, sem soluções.

Passo 5

Sistema (4):
2x1+4x2+x3=1, 5x1-2x2+x4=0, 3x1+x2+x3+x4=0, 3x2+2x3=0
Da quarta equação:
x3=-tfrac32,x2
Substituindo em E1:
2x1+4x2-tfrac32x2=1 ;Longrightarrow;2x1+2,5x2=1 ;Longrightarrow;x1=tfrac12-1,25x2
Em E2:
x4=-5x1+2x2=-5l(tfrac12-1,25x2r)+2x2 =-tfrac52+8,25x2
Finalmente em E3 obtemos
3l(tfrac12-1,25x2r)+x2-tfrac32x2 +l(-tfrac52+8,25x2r)=0 ;Longrightarrow;4x2=1 ;Longrightarrow;x2=tfrac14
Daí
x1=tfrac316, x2=tfrac14, x3=-tfrac38, x4=-tfrac716
Solução única, sem variáveis livres, todas básicas.

Resposta

(1) Solução única ,(1,tfrac12,-tfrac12). Variáveis básicas x1,x2,x3, sem livres.
(2) Solução geral
x1=tfrac3-x32-x4,; x2=-tfrac1+x32,; x6=-x5,
variáveis livres x3,x4,x5 e básicas x1,x2,x6.
(3) Sistema impossível, sem solução.
(4) Solução única l(tfrac316,tfrac14,-tfrac38,-tfrac716r). Variáveis básicas x1,x2,x3,x4, sem livres.

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