Verifque quais dos seguintes subconjuntos são subespaços de R^3 :
todos os vetores da forma ( a ; 1 ; 0 ).

Passo 1

O enunciado define o subconjunto
S = (a,1,0)mid ainR
de R^3. Para ser subespaço precisamos verificar três condições:
  1. contêm o vetor zero,
  2. fechado sob soma vetorial,
  3. fechado sob multiplicação escalar.

Passo 2

Verificamos se o vetor zero (0,0,0) pertence a S. Todo elemento de S tem segunda componente igual a 1, mas no vetor zero a segunda componente é 0. Logo
(0,0,0)notin S
e, portanto, S não contém o vetor zero.

Passo 3

Mesmo sem essa falha já bastar para descartar S como subespaço, podemos checar a soma: tomemos (a,1,0) e (b,1,0) em S. Então
(a,1,0)+(b,1,0)=(a+b,2,0),
cuja segunda componente é 2neq1, logo (a+b,2,0)notin S. Falta de fechamento sob soma.

Passo 4

Para reforçar, vejamos a multiplicação escalar: seja lambdainR e (a,1,0)in S. Então
lambda,(a,1,0)=(lambda a,lambda,0),
cuja segunda componente é lambda, que em geral não é 1. Logo não é fechado sob multiplicação escalar.

Resposta

O conjunto S=(a,1,0)mid ainR não é subespaço de R^3.

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