Determine um conjunto de geradores para os seguintes subespaços: Seja o subespaço gerado pelo conjunto
Encontre uma base de e determine .
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
Encontrar um conjunto de geradores para o subespaço
Dado o subespaço gerado por , e , achar uma base de e .
Conteúdos necessários: descrição paramétrica de subespaço e teste de independência linear em .
Passo 2
Para , note que as condições e reduzem o grau de liberdade a dois parâmetros, digamos e . Então um elemento genérico de é
Agora basta escrever isso como combinação linear de duas matrizes “canônicas” associadas a e .
Passo 3
Separamos os parâmetros:
Logo um conjunto de geradores para é
Passo 4
Agora olhamos para
Testamos se é combinação de e . Buscamos tais que
Das coordenadas vem o sistema
Isso dá , e todas as equações batem. Portanto
é dependente dos dois primeiros.
Passo 5
Como v3 depende de v1,v2, podemos trocar v1,v2,v3 por v1,v2. Resta checar que v1 e v2 são linearly independent. Se alpha v1+beta v2=0, a primeira coordenada dá alpha=0 e a última, então beta=0. Logo são independentes. Assim