Determine um conjunto de geradores para os seguintes subespaços:
S=[lla & b c & d] in Mat(2, R) ; a=-d, c=2 b Seja U in R^4 o subespaço gerado pelo conjunto
(1 ; 1 ; 2 ; 0) ;(0 ; 1 ; 3 ; 1) ;(2 ;-1 ;-5 ;-3)
Encontre uma base de U e determine dim U.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. Encontrar um conjunto de geradores para o subespaço
  1. Dado o subespaço gerado por
    , e , achar uma base de e .
    Conteúdos necessários: descrição paramétrica de subespaço e teste de independência linear em .

Passo 2

Para S, note que as condições a=-d e c=2b reduzem o grau de liberdade a dois parâmetros, digamos a e b. Então um elemento genérico de S é
M=a & b2b & -a
Agora basta escrever isso como combinação linear de duas matrizes “canônicas” associadas a a e b.

Passo 3

Separamos os parâmetros:
a & b2b & -a = a1 & 00 & -1 + b0 & 12 & 0
Logo um conjunto de geradores para S é
l;E1=1 & 00 & -1,; E2=0 & 12 & 0r

Passo 4

Agora olhamos para
Testamos se é combinação de e . Buscamos tais que
Das coordenadas vem o sistema
Isso dá , e todas as equações batem. Portanto
é dependente dos dois primeiros.

Passo 5

Como v3 depende de v1,v2, podemos trocar v1,v2,v3 por v1,v2. Resta checar que v1 e v2 são linearly independent. Se
alpha v1+beta v2=0, a primeira coordenada dá alpha=0 e a última, então beta=0. Logo são independentes. Assim
v1,v2
é uma base de U e dim U=2.

Resposta

Um conjunto de geradores de S é
l1 & 00 & -1,; 0 & 12 & 0r
Uma base de U é
(1,1,2,0),;(0,1,3,1),
e dim U=2.

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