Determinar uma base ortonormal do espaço linear gerado pelos vetores indicados, considerando o produto interno usual em R^4
(1,0,1,0),(0,1,0,1) e (1,0,0,0)

Passo 1

O enunciado nos dá os vetores v1=(1,0,1,0), v2=(0,1,0,1) e v3=(1,0,0,0) em R^4 com o produto interno usual. Precisamos achar uma base ortonormal do subespaço gerado por esses três vetores. Para isso, vamos usar o processo de Gram–Schmidt e depois normalizar cada vetor obtido.

Passo 2

Começamos com v3=(1,0,0,0). Definimos
u1 = v3
O seu comprimento é
|u1| = raiz1^2+0^2+0^2+0^2 = 1,
logo o primeiro vetor ortonormal é
e1 = u1|u1| = (1,0,0,0)

Passo 3

Agora ortogonalizamos v1 em relação a e1. O coeficiente da projeção é
lang<= v1,e1rang<= = 1cdot1 +0+0+0 = 1,
então
u2 = v1 - lang<= v1,e1rang<=,e1 = (1,0,1,0) - 1,(1,0,0,0) = (0,0,1,0)
O comprimento de u2 é
|u2| = raiz0^2+0^2+1^2+0^2 = 1,
e o vetor ortonormal correspondente é
e2 = u2|u2| = (0,0,1,0)

Passo 4

Por fim, ortogonalizamos v2=(0,1,0,1) em relação a e1 e e2. Como
lang<= v2,e1rang<= = 0, lang<= v2,e2rang<= = 0,
temos
u3 = v2 - 0cdote1 - 0cdote2 = (0,1,0,1)
O comprimento é
|u3| = raiz0^2+1^2+0^2+1^2 = raiz2,
e o vetor ortonormal é
e3 = u3|u3| = l(0,tfrac1raiz2,0,tfrac1raiz2r)

Resposta

Uma base ortonormal do subespaço gerado por (1,0,1,0), (0,1,0,1) e (1,0,0,0) é
e1 = (1,0,0,0), e2 = (0,0,1,0), e3 = l(0,tfrac1raiz2,0,tfrac1raiz2r)

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