Verifique se os conjuntos abaixo, com as operações definidas, são ou não espaços vetoriais reais.
(e) O conjuntos dos pares x, y de números reais com as operações:
(x0, y0)+(x, y)=(x x0, y y0) e lambda(x, y)=(lambda x, lambda y)

Passo 1

O enunciado define o conjunto V=(x,y)mid x,yinR com a “adição”
(x0,y0)+(x,y)=(x0,x,;y0,y)
e a multiplicação escalar usual
lambda,(x,y)=(lambda x,;lambda y)
Para decidir se V é um espaço vetorial real, basta verificar um dos axiomas que falha. Vamos checar o elemento neutro da adição e a relação entre o escalar zero e esse neutro.

Passo 2

Buscamos o elemento neutro 0V=(e1,e2) tal que, para todo (x,y)in V,
(e1,e2)+(x,y)=(x,y)
Pela definição da adição isso dá
(e1,x,;e2,y)=(x,y) Longrightarrow e1=1,;e2=1
Logo o neutro aditivo é 0V=(1,1).

Passo 3

Um axioma de espaço vetorial exige que
0,(x,y)=0V para todo (x,y),
onde 0 é o escalar zero. Mas aqui
0,(x,y)=(0cdot x,;0cdot y)=(0,0),
e (0,0)neq(1,1)=0V. Portanto esse axioma falha.

Resposta

O conjunto não é um espaço vetorial real porque a multiplicação pelo escalar zero não produz o elemento neutro da adição definido em V.

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