Verifique se os conjuntos abaixo, com as operações definidas, são ou não espaços vetoriais reais.
(e) O conjuntos dos pares
de números reais com as operações:
(e) O conjuntos dos pares
Passo 1
O enunciado define o conjunto
com a “adição”
e a multiplicação escalar usual
Para decidir se
é um espaço vetorial real, basta verificar um dos axiomas que falha. Vamos checar o elemento neutro da adição e a relação entre o escalar zero e esse neutro.
Passo 2
Buscamos o elemento neutro
tal que, para todo
,
Pela definição da adição isso dá
Logo o neutro aditivo é
.
Passo 3
Um axioma de espaço vetorial exige que
onde
é o escalar zero. Mas aqui
e
. Portanto esse axioma falha.
Resposta
O conjunto não é um espaço vetorial real porque a multiplicação pelo escalar zero não produz o elemento neutro da adição definido em
.