Determinar uma base ortonormal do espaço linear gerado pelos vetores indicados, considerando o produto interno usual em R^4
(1,-1,0,1),(4,1,1,0) e (0,1,-1,1)

Passo 1

O enunciado pede uma base ortonormal do subespaço de R^4 gerado pelos vetores
,v1=(1,-1,0,1),
,v2=(4,1,1,0) e
,v3=(0,1,-1,1),
usando o produto interno usual. Para isso vamos aplicar o processo de Gram–Schmidt, que consiste em gerar vetores ortogonais e depois normalizá-los.

Passo 2

Começamos definindo
u1 = v1 = (1,-1,0,1)
O comprimento de u1 é
|u1| = raiz1^2 + (-1)^2 + 0^2 + 1^2 = raiz3,
logo o primeiro vetor ortonormal é
e1 = u1|u1| = 1raiz3,(1,-1,0,1)

Passo 3

Agora ortogonalizamos v2 a e1. Primeiro calculamos o produto interno
lang<= v2, e1rang<= = (4,1,1,0)cdot1raiz3(1,-1,0,1) = 4 - 1 + 0 + 0raiz3 = 3raiz3 = raiz3
A projeção de v2 sobre e1 é raiz3,e1, então
u2 = v2 - raiz3,e1 = (4,1,1,0) - (1,-1,0,1) = (3,2,1,-1)
O comprimento de u2 é
|u2| = raiz3^2 + 2^2 + 1^2 + (-1)^2 = raiz9 + 4 + 1 + 1 = raiz15,
portanto
e2 = u2|u2| = 1raiz15,(3,2,1,-1)

Passo 4

Finalmente ortogonalizamos v3 aos dois vetores já obtidos. Calculamos
lang<= v3, e1rang<= = (0,1,-1,1)cdot1raiz3(1,-1,0,1) = 0 -1 +0 +1raiz3 = 0,
e
lang<= v3, e2rang<= = (0,1,-1,1)cdot1raiz15(3,2,1,-1) = 0 +2 -1 -1raiz15 = 0
Como ambas projeções são zero, u3 = v3. Então
|u3| = raiz0^2 +1^2 +(-1)^2 +1^2 = raiz3,
e
e3 = u3|u3| = 1raiz3,(0,1,-1,1)

Resposta

Uma base ortonormal do subespaço gerado por (1,-1,0,1), (4,1,1,0) e (0,1,-1,1) é
e1 = 1raiz3,(1,-1,0,1), e2 = 1raiz15,(3,2,1,-1), e3 = 1raiz3,(0,1,-1,1)

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