Verifique se:
(b) O conjunto de todos os vetores (x, y, z) com z=x+y é subespaço de R^3;

Passo 1

O enunciado define
S = (x,y,z)inR^3mid z = x + y
e nos pede para verificar se S é subespaço de R^3. Pelos conceitos de espaços vetoriais, basta checar três propriedades:
1) o vetor zero de R^3 pertence a S;
2) S é fechado sob soma de vetores;
3) S é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos o vetor zero. Em R^3, o vetor nulo é (0,0,0). Como
0 = 0 + 0,
temos (0,0,0)in S. Logo, a primeira condição está satisfeita.

Passo 3

Fechamento sob adição. Sejam
u = (x1,y1,z1)in S e v = (x2,y2,z2)in S
Pela definição de S, z1 = x1 + y1 e z2 = x2 + y2. Então
u + v = (,x1 + x2,;y1 + y2,;z1 + z2,) = l(x1 + x2,;y1 + y2,;(x1+y1)+(x2+y2)r)
Como (x1+y1)+(x2+y2) = (x1+x2)+(y1+y2), concluímos que u+v também satisfaz a relação de S e, portanto, u+vin S.

Passo 4

Fechamento sob multiplicação por escalar. Seja alphainR e u=(x,y,z)in S, com z=x+y. Então
alpha,u = (alpha x,;alpha y,;alpha z) = l(alpha x,;alpha y,;alpha(x+y)r) = l(alpha x,;alpha y,;alpha x + alpha yr),
logo alpha u também satisfaz a equação z = x+y e pertence a S.

Resposta

O conjunto S satisfaz as três condições de subespaço (contém o vetor zero, é fechado sob soma e sob multiplicação por escalar). Portanto, S é subespaço de R^3.

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