Verifique se:
(b) O conjunto de todos os vetores
com
é subespaço de
;
(b) O conjunto de todos os vetores
Passo 1
O enunciado define
S
e nos pede para verificar se S é subespaço de . Pelos conceitos de espaços vetoriais, basta checar três propriedades:
) o vetor zero de
pertence a S;
) S é fechado sob soma de vetores;
) S é fechado sob multiplicação por escalar.
S
e nos pede para verificar se S é subespaço de
Passo 2
Verificamos o vetor zero. Em
, o vetor nulo é
. Como
temos
. Logo, a primeira condição está satisfeita.
Passo 3
Fechamento sob adição. Sejam
Pela definição de S,
e
. Então
Como
, concluímos que
também satisfaz a relação de S e, portanto,
.
Passo 4
Fechamento sob multiplicação por escalar. Seja
e
, com
. Então
logo
também satisfaz a equação
e pertence a S.
Resposta
O conjunto S satisfaz as três condições de subespaço (contém o vetor zero, é fechado sob soma e sob multiplicação por escalar). Portanto, S é subespaço de
.