Determinar uma base ortonormal do espaço linear gerado pelos vetores indicados, considerando o produto interno usual em R^4
(1,2,0,0),(0,0,0,1) e (0,0,1,0)

Passo 1

O enunciado pede que a gente encontre uma base ortonormal do subespaço de R^4 gerado por
u1 = (1,2,0,0), u2 = (0,0,0,1), u3 = (0,0,1,0),
usando o produto interno usual. Vamos aplicar o processo de Gram–Schmidt para obter vetores ortogonais e depois normalizá-los.

Passo 2

Ortonormalizamos u1. Primeiro calculamos
lang<= u1,u1rang<= = 1^2 + 2^2 = 5, |u1| = raiz5
Logo
e1 = u1|u1| = l(tfrac1raiz5,,tfrac2raiz5,,0,,0r)

Passo 3

Ortonormalizamos u2 em relação a e1. Calculamos
lang<= u2,e1rang<= = 0cdottfrac1raiz5 + 0cdottfrac2raiz5 + 0 + 1cdot 0 = 0,
portanto
e2 = u2 - 0cdot e1|u2| = u2 = (0,0,0,1)

Passo 4

Ortonormalizamos u3 em relação a e1,e2. Como
lang<= u3,e1rang<= = 0, lang<= u3,e2rang<= = 0,
temos
e3 = u3|u3| = (0,0,1,0)

Resposta

Uma base ortonormal do espaço gerado por u1,u2,u3 é
l(tfrac1raiz5,tfrac2raiz5,0,0r), ;(0,0,0,1), ;(0,0,1,0)

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