Determinar uma base ortonormal do espaço linear gerado pelos vetores indicados, considerando o produto interno usual em R^4
(1,2,1,2),(1,-1,1,0) e (0,0,0,2)

Passo 1

O enunciado pede uma base ortonormal do subespaço de R^4 gerado pelos vetores
v1=(1,2,1,2), v2=(1,-1,1,0) e v3=(0,0,0,2), usando o produto interno usual. Vamos aplicar o processo de Gram–Schmidt para transformar v1,v2,v3 numa base ortonormal e1,e2,e3.

Passo 2

Começamos com v1. Definimos
u1 = v1 = (1,2,1,2)
Calculamos sua norma:
|u1| = raiz1^2+2^2+1^2+2^2 = raiz10
Então o primeiro vetor ortonormal é
e1 = u1|u1| = 1raiz10,(1,2,1,2)

Passo 3

Agora projetamos v2 sobre e1 e subtraímos:
v2 cdot e1 = 1cdot1 + (-1)cdot2 + 1cdot1 + 0cdot2raiz10 = 0,
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u2 = v2 - (v2cdot e1),e1 = v2
A norma de u2 é
|u2| = raiz1^2 + (-1)^2 + 1^2 + 0^2 = raiz3,
e assim
e2 = u2|u2| = 1raiz3,(1,-1,1,0)

Passo 4

Por fim, fazemos o mesmo com v3:
v3cdot e1 = 0+0+0+2cdot2raiz10 = 4raiz10, v3cdot e2 = 0
Então
u3 = v3 - (v3cdot e1),e1 - (v3cdot e2),e2 = (0,0,0,2) - 4raiz10;e1
Fazendo as contas dá
u3 = l(-tfrac25,-tfrac45,-tfrac25,tfrac65r), |u3| = raiztfrac125
Multiplicando por um fator conveniente, chega-se a
e3 = (-2,-4,-2,6)raiz60 = 1raiz15,(-1,-2,-1,3)

Resposta

Uma base ortonormal do subespaço gerado é
e1 = 1raiz10,(1,2,1,2), e2 = 1raiz3,(1,-1,1,0), e3 = 1raiz15,(-1,-2,-1,3)

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