Determinar uma base ortonormal para o sub-espaço W=(x, y, z, t) in R^4 ; x-y+3 z=0 do
R^4.

Passo 1

O enunciado pede uma base ortonormal de
W = (x,y,z,t)inR^4 mid x - y + 3z = 0
Aqui o conteúdo é mostrar que W é um hiperplano de dimensão 3 em R^4, conseguir uma base qualquer de W e depois aplicar o processo de Gram–Schmidt para ortonormalizar.

Passo 2

Para achar uma base de W, escrevemos x em função de y,z:
x - y + 3z = 0Longrightarrow x = y - 3z
Logo um vetor genérico em W é
(x,y,z,t) = (y-3z,;y,;z,;t) = y,(1,1,0,0) ;+; z,(-3,0,1,0);+;t,(0,0,0,1)
Então uma base de W é
v1 = (1,1,0,0), v2 = (-3,0,1,0), v3 = (0,0,0,1)

Passo 3

Aplicamos Gram–Schmidt em v1,v2,v3.
Primeiro normalizamos v1:
|v1| = raiz1^2+1^2= raiz2, u1 = v1|v1| = 1raiz2(1,1,0,0)

Passo 4

Agora orthogonalizamos v2 em relação a u1:
proju1(v2) = (v2cdot u1),u1, v2cdot u1 = -3cdot1 + 0cdot1raiz2 = -3raiz2
Então
w2 = v2 - proju1(v2) = (-3,0,1,0) - l(-tfrac3raiz2r),1raiz2(1,1,0,0) = (-3,0,1,0) + 32(1,1,0,0) = l(-tfrac32,tfrac32,1,0r)
Para simplificar, podemos multiplicar por 2 antes de normalizar:
w2' = 2,w2 = (-3,3,2,0), |w2'| = raiz(-3)^2+3^2+2^2=raiz22,
u2 = w2'|w2'| = 1raiz22(-3,3,2,0)

Passo 5

Por fim, tomamos v3=(0,0,0,1). Note que
v3cdot u1 = 0, v3cdot u2 = 0,
ou seja, já é ortogonal a u1 e u2. Além disso |v3|=1, então
u3 = (0,0,0,1)

Resposta

Uma base ortonormal de W é
u1 = 1raiz2(1,1,0,0), u2 = 1raiz22(-3,3,2,0), u3 = (0,0,0,1)

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