Determinar uma base ortonormal para o sub-espaço
do
.
Passo 1
O enunciado pede uma base ortonormal de
Aqui o conteúdo é mostrar que
é um hiperplano de dimensão 3 em
, conseguir uma base qualquer de
e depois aplicar o processo de Gram–Schmidt para ortonormalizar.
Passo 2
Para achar uma base de
, escrevemos
em função de
:
Logo um vetor genérico em
é
Então uma base de
é
Passo 3
Aplicamos Gram–Schmidt em
.
Primeiro normalizamos :
Primeiro normalizamos
Passo 4
Agora orthogonalizamos
em relação a
:
Então
Para simplificar, podemos multiplicar por 2 antes de normalizar:
Passo 5
Por fim, tomamos
. Note que
ou seja, já é ortogonal a
e
. Além disso
, então
Resposta
Uma base ortonormal de
é