Sejam
e
dois vetores de
. Mostre que
é um produto interno sobre o
.
Passo 1
O enunciado define, para
e
em
, o bilinear
Para ser produto interno ele precisa ser
- bilinear,
- simétrico,
- positivo–definido:
para todo .
Passo 2
Verificamos bilinearidade: cada termo é um produto de uma componente de
por uma de
, e a soma de tais termos é linear em cada argumento. Logo é bilinear.
Passo 3
Verificamos simetria: trocando
trocam-se
, e
ou seja
.
Passo 4
Calculamos
:
Em forma matricial,
O menor principal de ordem 2 desta matriz é
Como o determinante é negativo, a forma quadrática é indefinida: há
com
(por exemplo
dá
).
Passo 5
Concluímos que, embora seja bilinear e simétrica, falha a positividade. Portanto não é um produto interno em
.
Resposta
O dado forma não satisfaz a condição de positividade (existe
com
); logo não é um produto interno.