Sejam u=(x1, x2) e v=(y1, y2) dois vetores de R^2. Mostre que
l lang<= u, vrang<==x1 y1-6 x1 y2-6 x2 y1+10 x2 y2 R^2
é um produto interno sobre o R^2.

Passo 1

O enunciado define, para u=(x1,x2) e v=(y1,y2) em R^2, o bilinear
lang<= u,vrang<= ;=; x1y1;-;6,x1y2;-;6,x2y1;+;10,x2y2
Para ser produto interno ele precisa ser
  1. bilinear,
  2. simétrico,
  3. positivo–definido: lang<= u,urang<=>0 para todo uneq0.

Passo 2

Verificamos bilinearidade: cada termo é um produto de uma componente de u por uma de v, e a soma de tais termos é linear em cada argumento. Logo é bilinear.

Passo 3

Verificamos simetria: trocando urightarrow v trocam-se xirightarrow yi, e
x1y1-6x1y2-6x2y1+10x2y2 = y1x1-6y1x2-6y2x1+10y2x2,
ou seja lang<= u,vrang<==lang<= v,urang<=.

Passo 4

Calculamos :
Em forma matricial,
O menor principal de ordem 2 desta matriz é
Como o determinante é negativo, a forma quadrática é indefinida: há com (por exemplo ).

Passo 5

Concluímos que, embora seja bilinear e simétrica, falha a positividade. Portanto não é um produto interno em R^2.

Resposta

O dado forma não satisfaz a condição de positividade (existe uneq0 com lang<= u,urang<=<0); logo não é um produto interno.

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