Escreva a definição de:
Operador diagonalizável

Passo 1

O enunciado pede a definição de operador diagonalizável. Isso envolve conceitos de espaço vetorial de dimensão finita, operador linear Tcolon Vto V, autovalores e autovetores, e mudança de base que leva a uma matriz diagonal.

Passo 2

Primeiro, lembramos o que são autovalor e autovetor. Seja Tcolon Vto V um operador linear sobre um corpo F. Dizemos que lambdain F é um autovalor de T se existe vetor não nulo vin V tal que
T(v)=lambda,v
Nesse caso, v chama-se autovetor de T associado a lambda. O conjunto de todos os autovetores associados a lambda, junto com o vetor zero, forma o subespaço próprio ker(T-lambda I).

Passo 3

Agora, para diagonalizar T queremos escrever a matriz de T em alguma base de V como uma matriz diagonal. É fácil ver que isso só ocorre se conseguirmos escolher uma base inteira de autovetores de T. Em termos matriciais, se A representa T na base canônica, então T é diagonalizável se existir matriz inversível P tal que
P^-1 A,P = D,
onde D é uma matriz diagonal.

Resposta

Seja V um espaço vetorial de dimensão finita sobre um corpo F e Tcolon Vto V um operador linear. Dizemos que T é diagonalizável se existir uma base de V composta por autovetores de T. Equivalentemente, na representação matricial, T é diagonalizável se a matriz que a representa puder ser escrita como
P^-1 A,P = D
com P invertível e D diagonal.

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