Escreva a definição de:
Operador diagonalizável
Operador diagonalizável
Passo 1
O enunciado pede a definição de operador diagonalizável. Isso envolve conceitos de espaço vetorial de dimensão finita, operador linear
, autovalores e autovetores, e mudança de base que leva a uma matriz diagonal.
Passo 2
Primeiro, lembramos o que são autovalor e autovetor. Seja
um operador linear sobre um corpo
. Dizemos que
é um autovalor de
se existe vetor não nulo
tal que
Nesse caso,
chama-se autovetor de
associado a
. O conjunto de todos os autovetores associados a
, junto com o vetor zero, forma o subespaço próprio
.
Passo 3
Agora, para diagonalizar
queremos escrever a matriz de
em alguma base de
como uma matriz diagonal. É fácil ver que isso só ocorre se conseguirmos escolher uma base inteira de autovetores de
. Em termos matriciais, se
representa
na base canônica, então
é diagonalizável se existir matriz inversível
tal que
onde
é uma matriz diagonal.
Resposta
Seja
um espaço vetorial de dimensão finita sobre um corpo
e
um operador linear. Dizemos que
é diagonalizável se existir uma base de
composta por autovetores de
. Equivalentemente, na representação matricial,
é diagonalizável se a matriz que a representa puder ser escrita como
com
invertível e
diagonal.