Questão 2. Considere o sólido T delimitado pelas superfícies z-1+x^{2}=0, y+z=2, y=0, z=0 no primeiro octante.
a) Esboçe por separado o sólido T e a região de integração:
b) Formule (mas não resolva) uma integral tripla para calcular o volume do sólido.
c) Formule uma integral dupla para calcular o volume do sólido e resolva somente a integral interna.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido T que vive no primeiro octante e é limitado por
  1. A parábola inversa no plano xz:
z - 1 + x^{2}=0\quad\Longrightarrow\quad z=1 - x^{2},
  1. O plano inclinado y+z=2 \;\Longrightarrow\;z=2-y,
  2. O plano y=0,
  3. O plano z=0.
    O conteúdo é “volume por integrais múltiplas”. Vamos precisar
    – entender onde essas superfícies se interceptam,
    – projetar T no plano apropriado,
    – escrever a integral tripla (sem resolver) e
    – escrever a integral dupla, resolvendo só a parte interna.

Passo 2

Descrição do esboço sem desenho:
– O “teto” de T é dado pela menor altura entre a parábola z=1-x^2 e o plano z=2-y.
– As faces laterais são y=0 (plano xz) e z=0 (plano xy), e estamos em x\ge0.
– A curva de interseção entre a parábola e o plano é
1 - x^{2} = 2 - y \quad\Longrightarrow\quad y = 1 + x^{2}.
Para a região de projeção no xy-plano (“região de integração”):
– o eixo x vai de 0 até onde 1 - x^{2} muda de sinal, isto é x=1,
– o eixo y vai de 0 até 2,
– a fronteira interior é a curva y=1+x^2.

Passo 3

Integral tripla para o volume (ordem dx\,dy\,dz ajustada para limites simples):
V=\int_{z=0}^{1} \int_{y=0}^{\,2 - z} \int_{x=0}^{\sqrt{\,1 - z\,}} dx\;dy\;dz.
Aqui 0\le z\le1 (o máximo de z ocorre em x=0 na parábola), para cada z temos 0\le y\le2-z, e para cada (y,z), 0\le x\le\sqrt{1-z}.

Passo 4

Para a integral dupla projetada no xy-plano usamos
z_{\max}(x,y) =\min\bigl(1-x^{2},\,2-y\bigr),
e a região D:\;0\le x\le1,\;0\le y\le2.
Como há mudança de fórmula em torno de y=1+x^2, dividimos:
V =\int_{x=0}^{1}\Biggl[ \int_{y=0}^{1+x^2}(1-x^2)\,dy +\int_{y=1+x^2}^{2}(2-y)\,dy \Biggr]dx.

Passo 5

Resolvendo só as integrais internas em y:
  1. Para 0\le y\le1+x^2:
\int_{y=0}^{1+x^2}(1-x^2)\,dy =(1-x^2)\,\bigl[y\bigr]_{0}^{1+x^2} =(1-x^2)(1+x^2).
  1. Para 1+x^2\le y\le2:
\int_{y=1+x^2}^{2}(2-y)\,dy =\Bigl[2y-\tfrac{y^2}{2}\Bigr]_{1+x^2}^{2} =\bigl(4-2\bigr)-\bigl(2(1+x^2)-\tfrac{(1+x^2)^2}{2}\bigr) =\tfrac12 -x^2+\tfrac{x^4}{2}.

Resposta

(a) O sólido T é a região abaixo de z=1-x^2 e abaixo de z=2-y, com faces em y=0, z=0 e x\ge0. Sua projeção no plano xy é o retângulo 0\le x\le1,\;0\le y\le2, dividido pela curva y=1+x^2.
(b)
V=\int_{z=0}^{1} \int_{y=0}^{2 - z} \int_{x=0}^{\sqrt{1 - z}} dx\;dy\;dz.
(c)
V =\int_{x=0}^{1}\Biggl[ \int_{y=0}^{1+x^2}(1-x^2)\,dy +\int_{y=1+x^2}^{2}(2-y)\,dy \Biggr]dx,
com
\int_{0}^{1+x^2}(1-x^2)\,dy=(1-x^2)(1+x^2), \qquad \int_{1+x^2}^{2}(2-y)\,dy=\tfrac12 -x^2+\tfrac{x^4}{2}.

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