Questão 2. Considere o sólido
delimitado pelas superfícies
,
no primeiro octante.
a) Esboçe por separado o sólido T e a região de integração:
b) Formule (mas não resolva) uma integral tripla para calcular o volume do sólido.
c) Formule uma integral dupla para calcular o volume do sólido e resolva somente a integral interna.
a) Esboçe por separado o sólido T e a região de integração:
b) Formule (mas não resolva) uma integral tripla para calcular o volume do sólido.
c) Formule uma integral dupla para calcular o volume do sólido e resolva somente a integral interna.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido
que vive no primeiro octante e é limitado por
- A parábola inversa no plano
:
- O plano inclinado
, - O plano
, - O plano
.
O conteúdo é “volume por integrais múltiplas”. Vamos precisar
– entender onde essas superfícies se interceptam,
– projetarno plano apropriado,
– escrever a integral tripla (sem resolver) e
– escrever a integral dupla, resolvendo só a parte interna.
Passo 2
Descrição do esboço sem desenho:
– O “teto” de é dado pela menor altura entre a parábola
e o plano
.
– As faces laterais são (plano
) e
(plano
), e estamos em
.
– A curva de interseção entre a parábola e o plano é
– O “teto” de
– As faces laterais são
– A curva de interseção entre a parábola e o plano é
Para a região de projeção no
-plano (“região de integração”):
– o eixo vai de
até onde
muda de sinal, isto é
,
– o eixo vai de
até
,
– a fronteira interior é a curva .
– o eixo
– o eixo
– a fronteira interior é a curva
Passo 3
Integral tripla para o volume (ordem
ajustada para limites simples):
Aqui
(o máximo de
ocorre em
na parábola), para cada
temos
, e para cada
,
.
Passo 4
Para a integral dupla projetada no
-plano usamos
e a região
.
Como há mudança de fórmula em torno de , dividimos:
Como há mudança de fórmula em torno de
Passo 5
Resolvendo só as integrais internas em
:
- Para
:
- Para
:
Resposta
(a) O sólido
é a região abaixo de
e abaixo de
, com faces em
,
e
. Sua projeção no plano
é o retângulo
, dividido pela curva
.
(b)
(b)
(c)
com