Resolva os sistemas:
\left\{\begin{array}{l}\dot{x}=-x+2 y+2 z \\\ \dot{y}=-2 x+3 y+2 z \\\ \dot{z}=-x+y+2 z\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear de EDOs com coeficientes constantes
\dot{x}=-x+2y+2z, \dot{y}=-2x+3y+2z, \dot{z}=-x+y+2z.
O conteúdo é resolução de sistemas lineares via autovalores e autovetores: representamos em forma matricial \dot{\mathbf X}=A\mathbf X, achamos o polinômio característico \det(A-\lambda I)=0, extraímos \lambda e seus vetores próprios, e montamos a solução geral como combinação de e^{\lambda t}.

Passo 2

Escrevemos em forma matricial \dot{\mathbf X}=A\mathbf X com \mathbf X=(x,y,z)^T e
A = \begin{pmatrix} -1 & 2 & 2 \\\\ -2 & 3 & 2 \\\\ -1 & 1 & 2 \end{pmatrix}.

Passo 3

Procuramos os autovalores resolvendo
\det(A-\lambda I) =\det\begin{pmatrix} -1-\lambda & 2 & 2 \\\\ -2 &3-\lambda &2 \\\\ -1 &1 &2-\lambda \end{pmatrix} =\lambda^3 -4\lambda^2 +5\lambda -2 =(\lambda-1)^2(\lambda-2).
Logo os autovalores são \lambda_1=1 (multiplicidade 2) e \lambda_2=2.

Passo 4

Para \lambda=1 resolvemos (A-I)v=0, que reduz a
-\,x + y + z = 0.
Assim o espaço próprio de dimensão 2 é gerado por
v_1=(1,1,0)^T,\quad v_2=(1,0,1)^T.
Para \lambda=2 resolvemos (A-2I)v=0 e obtemos y=x, z=x/2. Um gerador conveniente é
v_3=(2,2,1)^T.

Passo 5

Como A é diagonalizável, a solução geral é
\mathbf X(t) =C_1e^{t}v_1 + C_2e^{t}v_2 + C_3e^{2t}v_3,
onde C_1,C_2,C_3 são constantes arbitrárias. Em componentes:
x(t)=(C_1+C_2)e^t + 2C_3e^{2t},\quad y(t)=C_1e^t + 2C_3e^{2t},\quad z(t)=C_2e^t + C_3e^{2t}.

Resposta

(x,y,z)(t) =\bigl((C_1+C_2)e^t + 2C_3e^{2t},\;C_1e^t + 2C_3e^{2t},\;C_2e^t + C_3e^{2t}\bigr),
com C_1,C_2,C_3\in\mathbb{R}.

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