Resolva os sistemas: \left\{\begin{array}{l}\dot{x}=-x+2 y+2 z \\\ \dot{y}=-2 x+3 y+2 z \\\ \dot{z}=-x+y+2 z\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado dá o sistema linear de EDOs com coeficientes constantes \dot{x}=-x+2y+2z, \dot{y}=-2x+3y+2z, \dot{z}=-x+y+2z.
O conteúdo é resolução de sistemas lineares via autovalores e autovetores: representamos em forma matricial \dot{\mathbf X}=A\mathbf X, achamos o polinômio característico \det(A-\lambda I)=0, extraímos \lambda e seus vetores próprios, e montamos a solução geral como combinação de e^{\lambda t}.
Passo 2
Escrevemos em forma matricial \dot{\mathbf X}=A\mathbf X com \mathbf X=(x,y,z)^T e