Determinar o centro e as equações dos eixos dos seguintes elipsóides:
9 x^{2}+36 y^{2}+4 z^{2}-18 x+144 y+117=0

Passo 1

O enunciado dá a superfície quádrupla
9x^{2}+36y^{2}+4z^{2}-18x+144y+117=0
e pede para encontrar o centro e as retas que correspondem aos eixos principais do elipsóide. Para isso, vamos usar a técnica de completar quadrados em x, y e z e, em seguida, reescrever a equação na forma padrão de um elipsóide.

Passo 2

Agrupamos os termos em x, y e z e completamos o quadrado em cada variável:
Para x:
9x^{2}-18x = 9\bigl(x^{2}-2x\bigr) =9\bigl[(x-1)^{2}-1\bigr] =9(x-1)^{2}-9.
Para y:
36y^{2}+144y = 36\bigl(y^{2}+4y\bigr) =36\bigl[(y+2)^{2}-4\bigr] =36(y+2)^{2}-144.
Para z:
4z^{2} = 4\bigl(z^{2}\bigr) =4(z-0)^{2}.
Substituindo tudo na equação original:
9(x-1)^{2}-9 \;+\;36(y+2)^{2}-144 \;+\;4(z-0)^{2}\;+\;117 \;=\;0.

Passo 3

Reunindo os termos constantes:
-9 -144 +117 = -36,
logo a equação vira
9(x-1)^{2} + 36(y+2)^{2} + 4(z-0)^{2} -36 = 0 \quad\Longrightarrow\quad 9(x-1)^{2} + 36(y+2)^{2} + 4z^{2} = 36.
Dividindo por 36:
\frac{(x-1)^{2}}{4} \;+\;\frac{(y+2)^{2}}{1} \;+\;\frac{z^{2}}{9} \;=\;1,
que é a forma padrão de um elipsóide.

Passo 4

Da forma padrão vemos que o centro é o ponto (1,-2,0)\). Como os termos mistos estão ausentes e cada quadrado está isolado, os eixos principais são paralelos aos eixos coordenados e passam pelo centro. Suas equações paramétricas são: \[\begin{cases} x = 1 + t,\\\ y = -2,\\\ z = 0, \end{cases} \quad \begin{cases} x = 1,\\\ y = -2 + s,\\\ z = 0, \end{cases} \quad \begin{cases} x = 1,\\\ y = -2,\\\ z = r, \end{cases}
onde (t,s,r\in\mathbb{R}].

Resposta

Centro: (1,-2,0).
Equações dos eixos principais:
\{(1+t,\,-2,\,0)\mid t\in\mathbb{R}\},
\{(1,\,-2+s,\,0)\mid s\in\mathbb{R}\},
\{(1,\,-2,\,r)\mid r\in\mathbb{R}\}.

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