Determinar o centro e as equações dos eixos dos seguintes elipsóides:
x^{2}+12 y^{2}+15 z^{2}-3 z=0

Passo 1

O enunciado pede para achar o centro e as equações dos eixos do elipsóide dado por
x^{2} + 12\,y^{2} + 15\,z^{2} - 3\,z = 0.
Aqui o conteúdo é classificação de superfícies quádricas e uso de completar o quadrado para encontrar o centro e passar à forma canônica.

Passo 2

Começamos completando o quadrado em z. Isolamos os termos em z:
15\,z^{2} - 3\,z = 15\Bigl(z^{2} - \tfrac{1}{5}\,z\Bigr).
Agora
z^{2} - \tfrac{1}{5}\,z = \Bigl(z - \tfrac{1}{10}\Bigr)^{2} - \tfrac{1}{100},
então
15\,z^{2} - 3\,z = 15\Bigl(z - \tfrac{1}{10}\Bigr)^{2} - 15\cdot\tfrac{1}{100} = 15\Bigl(z - \tfrac{1}{10}\Bigr)^{2} - \tfrac{3}{20}.
Substituindo na equação original:
x^{2} + 12\,y^{2} + 15\Bigl(z - \tfrac{1}{10}\Bigr)^{2} - \tfrac{3}{20} = 0 \quad\Longrightarrow\quad x^{2} + 12\,y^{2} + 15\Bigl(z - \tfrac{1}{10}\Bigr)^{2} = \tfrac{3}{20}.

Passo 3

Para concluir a forma canônica, dividimos tudo por \tfrac{3}{20}:
\frac{x^{2}}{\tfrac{3}{20}} + \frac{12\,y^{2}}{\tfrac{3}{20}} + \frac{15\,(z - \tfrac{1}{10})^{2}}{\tfrac{3}{20}} = 1.
Agora simplificamos cada denominador:
\frac{3}{20}, \quad \frac{3/20}{12} = \frac{1}{80}, \quad \frac{3/20}{15} = \frac{1}{100}.
Fica, então,
\frac{x^{2}}{\tfrac{3}{20}} + \frac{y^{2}}{\tfrac{1}{80}} + \frac{(z - \tfrac{1}{10})^{2}}{\tfrac{1}{100}} = 1.

Passo 4

Da forma canônica reconhecemos que o centro do elipsóide é
(0,\;0,\;\tfrac{1}{10}).
Os semi-eixos estão alinhados com os eixos coordenados e têm comprimentos
a = \sqrt{\tfrac{3}{20}},\quad b = \sqrt{\tfrac{1}{80}},\quad c = \tfrac{1}{10}.
Logo as retas que representam os eixos principais são:
\ell_{x}:\quad y=0,\;z=\tfrac{1}{10}, \qquad \ell_{y}:\quad x=0,\;z=\tfrac{1}{10}, \qquad \ell_{z}:\quad x=0,\;y=0.

Resposta

Centro: \bigl(0,0,\tfrac{1}{10}\bigr).
Eixos principais (retas): \ell_{x}:\{(t,0,\tfrac{1}{10})\mid t\in\mathbb{R}\}, \ell_{y}:\{(0,t,\tfrac{1}{10})\mid t\in\mathbb{R}\}, \ell_{z}:\{(0,0,\tfrac{1}{10}+t)\mid t\in\mathbb{R}\}.

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