Questão 2: Uma transformação Linear T R^{2} \rightarrow R^{3} é tal que:
\begin{aligned} & T(1,-2)=(1,0,1) \\\ & T(1,0)=(2,-1,1) \end{aligned}
a) Determine T(x, y) \forall x, y \in \Re.
b) T é Sobrejetora?

Passo 1

O enunciado diz que T\colon \mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3 é linear e que
T(1,-2) = (1,0,1), \quad T(1,0) = (2,-1,1).
Queremos, primeiro, achar uma fórmula para T(x,y) em função de (x,y), e depois verificar se T é sobrejetora.

Passo 2

Como (1,-2)\) e \((1,0)\) são vetores em \(\mathbb{R}^2\) e a matriz \[\begin{pmatrix} 1 & 1\\\\ -2& 0 \end{pmatrix}
tem determinante 1\cdot0 - 1\cdot(-2)=2\neq0, concluímos que eles formam base de \mathbb{R}^2. Logo, dado (x,y), existem escalares a e b tais que
(x,y) = a\,(1,-2) + b\,(1,0).
Para encontrar a e b, resolvemos o sistema
\begin{cases} a + b = x,\\\\ -2a = y. \end{cases}
Da segunda equação vem (a = -\tfrac{y}{2}]. Substituindo na primeira,
-\tfrac{y}{2} + b = x \quad\Longrightarrow\quad b = x + \tfrac{y}{2}.

Passo 3

Usando linearidade de T,
T(x,y) = a\,T(1,-2) + b\,T(1,0) = \Bigl(-\tfrac{y}{2}\Bigr)\,(1,0,1) \;+\;\Bigl(x + \tfrac{y}{2}\Bigr)\,(2,-1,1).
Agora distribuindo:
-\tfrac{y}{2}\,(1,0,1) = \bigl(-\tfrac{y}{2},\,0,\,-\tfrac{y}{2}\bigr), \quad \Bigl(x + \tfrac{y}{2}\Bigr)\,(2,-1,1) = \bigl(2x + y,\,-x - \tfrac{y}{2},\,x + \tfrac{y}{2}\bigr).
Somando as coordenadas,
T(x,y) = \Bigl(2x + y - \tfrac{y}{2},\;-x - \tfrac{y}{2},\;x + \tfrac{y}{2} - \tfrac{y}{2}\Bigr) = \Bigl(2x + \tfrac{y}{2},\;-x - \tfrac{y}{2},\;x\Bigr).

Passo 4

Para ver se T é sobrejetora, note que a imagem de uma transformação linear de \mathbb{R}^2 tem dimensão no máximo 2. Mas \mathbb{R}^3 tem dimensão 3, logo não é possível que o espaço imagem seja todo \mathbb{R}^3. Portanto, T não é sobrejetora.

Resposta

a) \displaystyle T(x,y)=\Bigl(2x+\tfrac{y}{2},\,-x-\tfrac{y}{2},\,x\Bigr).
b) T não é sobrejetora.

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