Questão 1: Sejam \vec{v}_{1}=(1,1,1), \vec{v}_{2}=(0,-1,2) e \vec{v}_{3}=(0,0,1) vetores de R^{3}. Esses vetores constituem uma base B=\left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}, \vec{v}_{3}\right\} não ortogonal em relação ao produto interno usual. Determine, a partir de B , uma base B^{\prime}=\left\{\vec{u}_{1}, \vec{u}_{2}, \vec{u}_{3}\right\} que seja ortonormal.

Passo 1

O enunciado dá três vetores de \mathbb{R}^3:
\vec{v}_{1}=(1,1,1),\quad \vec{v}_{2}=(0,-1,2),\quad \vec{v}_{3}=(0,0,1),
e pede uma base ortonormal B'=\{\vec{u}_1,\vec{u}_2,\vec{u}_3\} em relação ao produto interno usual. Vamos usar o processo de Gram–Schmidt para transformar B em uma base ortonormal.

Passo 2

Primeiro vetor ortonormal \vec{u}_1. Pegamos \vec{v}_1 e normalizamos:
\|\vec{v}_1\| = \sqrt{1^2+1^2+1^2} = \sqrt{3},
\vec{u}_1 = \frac{\vec{v}_1}{\|\vec{v}_1\|} = \frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1).

Passo 3

Segundo vetor ortonormal \vec{u}_2. Primeiro subtraímos de \vec{v}_2 a projeção sobre \vec{u}_1:
\mathrm{proj}_{\vec{u}_1}(\vec{v}_2) =\langle \vec{v}_2,\vec{u}_1\rangle\,\vec{u}_1 =\frac{0\cdot1+(-1)\cdot1+2\cdot1}{\sqrt{3}}\;\frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1) =\frac{1}{3}(1,1,1).
Definimos
\vec{w}_2 = \vec{v}_2 - \frac{1}{3}(1,1,1) =\bigl(0,-1,2\bigr)-\bigl(\tfrac13,\tfrac13,\tfrac13\bigr) =\bigl(-\tfrac13,-\tfrac43,\tfrac53\bigr).
O comprimento de \vec{w}_2 é
\|\vec{w}_2\| =\sqrt{\Bigl(-\tfrac13\Bigr)^2+\Bigl(-\tfrac43\Bigr)^2+\Bigl(\tfrac53\Bigr)^2} =\sqrt{\frac{1+16+25}{9}} =\frac{\sqrt{42}}{3}.
Logo
\vec{u}_2 = \frac{\vec{w}_2}{\|\vec{w}_2\|} =\frac{1}{\sqrt{42}}(-1,-4,5).

Passo 4

Terceiro vetor ortonormal \vec{u}_3. Subtraímos de \vec{v}_3 as projeções sobre \vec{u}_1 e \vec{u}_2:
\mathrm{proj}_{\vec{u}_1}(\vec{v}_3) =\langle\vec{v}_3,\vec{u}_1\rangle\,\vec{u}_1 =\frac{1}{\sqrt{3}}\;\frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1) =\frac{1}{3}(1,1,1),
\mathrm{proj}_{\vec{u}_2}(\vec{v}_3) =\langle\vec{v}_3,\vec{u}_2\rangle\,\vec{u}_2 =\frac{5}{\sqrt{42}}\;\frac{1}{\sqrt{42}}(-1,-4,5) =\frac{5}{42}(-1,-4,5).
Então
\vec{w}_3 = \vec{v}_3 - \frac{1}{3}(1,1,1) - \frac{5}{42}(-1,-4,5) =\Bigl(-\tfrac{3}{14},\tfrac{1}{7},\tfrac{1}{14}\Bigr).
Como
\|\vec{w}_3\| =\sqrt{\Bigl(-\tfrac{3}{14}\Bigr)^2+\Bigl(\tfrac{1}{7}\Bigr)^2+\Bigl(\tfrac{1}{14}\Bigr)^2} =\frac{1}{\sqrt{14}},
obtemos
\vec{u}_3 = \frac{\vec{w}_3}{\|\vec{w}_3\|} =\frac{1}{\sqrt{14}}(-3,2,1).

Resposta

\displaystyle \vec{u}_1=\frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1),\quad \vec{u}_2=\frac{1}{\sqrt{42}}(-1,-4,5),\quad \vec{u}_3=\frac{1}{\sqrt{14}}(-3,2,1).

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