Determinar o centro de gravidade do sólido, V=\left\{(x, y, z): a z \leq a^{2}-x^{2}-y^{2} \wedge z \geq 0\right\}, sendo \rho(x, y, z)=1.

Passo 1

O enunciado pede: determinar o centro de gravidade (centro de massa, já que a densidade é constante) do sólido
V=\{(x,y,z)\mid a z \le a^{2}-x^{2}-y^{2}\\ \wedge\\ z\ge 0\},
com densidade \rho(x,y,z)=1.
Informações dadas e o que é pedido:
  • A região é delimitada por z\ge 0 e pela superfície a z = a^{2}-x^{2}-y^{2}.
  • A densidade é uniforme igual a 1.
  • É preciso encontrar as coordenadas do centro de massa (\overline{x},\overline{y},\overline{z}).
Observações imediatas (sem resolver ainda):
  • A superfície pode ser escrita como
z = a - \frac{x^{2}+y^{2}}{a}.
  • A interseção com o plano z=0 ocorre quando x^{2}+y^{2}=a^{2}, ou seja, a projeção no plano xy é o disco de raio a.
  • Então o sólido é a região acima de z=0 e abaixo da paraboloide z=a-\dfrac{r^{2}}{a}, com r^{2}=x^{2}+y^{2}.

Passo 2

Escolha do método e coordenadas: por simetria circular em torno do eixo z (a equação depende apenas de r^2=x^2+y^2), é natural usar coordenadas cilíndricas (r,\theta,z), onde
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,\qquad z=z,
com o elemento de volume
dV = r\,dr\,d\theta\,dz.
Explicação do Jacobiano (por que aparece o r): ao passar de (x,y) para (r,\theta) a área dx\,dy transforma-se em r\,dr\,d\theta porque pequenos retângulos em (r,\theta) têm área aproximada r\,\Delta r\,\Delta\theta. Isso é padrão em coordenadas polares/cilíndricas.
Com densidade \rho=1, o volume total é
V=\iiint_{V} 1\,dV,
e a coordenada z do centro de massa é
\overline{z}=\frac{1}{V}\iiint_{V} z\,dV.
Pela simetria do disco em \theta (e porque a região é simétrica em x e y), espera-se \overline{x}=0 e \overline{y}=0. Nas próximas etapas vamos calcular V e \iiint z\,dV.

Passo 3

Determinar os limites de integração em coordenadas cilíndricas.
  • \theta varia de 0 a 2\pi.
  • r varia de 0 a a (pois a projeção no plano xy é o disco de raio a).
  • Para dado r, z varia de 0 até o teto z_{\text{top}}=a-\dfrac{r^{2}}{a}.
Portanto
V=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{a}\int_{0}^{\,a-\frac{r^{2}}{a}} r\,dz\,dr\,d\theta.

Passo 4

Calcular o volume passo a passo.
Integrando primeiro em z:
\int_{0}^{\,a-\frac{r^{2}}{a}} r\,dz = r\left(a-\frac{r^{2}}{a}\right).
Agora integrar em r e \theta:
V=\int_{0}^{2\pi}\left(\int_{0}^{a} r\left(a-\frac{r^{2}}{a}\right)dr\right)d\theta.
Calcule a integral em r:
\int_{0}^{a}\left(a r - \frac{r^{3}}{a}\right)dr = a\cdot\frac{r^{2}}{2}\Big|_{0}^{a} - \frac{1}{a}\cdot\frac{r^{4}}{4}\Big|_{0}^{a} = a\cdot\frac{a^{2}}{2} - \frac{1}{a}\cdot\frac{a^{4}}{4}.
Simplificando:
= \frac{1}{2}a^{3} - \frac{1}{4}a^{3} = \frac{1}{4}a^{3}.
Agora integrar em \theta:
V = \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{4}a^{3}\,d\theta = \frac{1}{4}a^{3}\cdot 2\pi = \frac{\pi}{2}a^{3}.

Passo 5

Argumento de simetria para \overline{x} e \overline{y}.
Devido à simetria rotacional em torno do eixo z e porque a densidade é constante, as componentes horizontais do centro de massa devem ser zero:
\overline{x}= \frac{1}{V}\iiint_{V} x\,dV = 0,\qquad \overline{y}= \frac{1}{V}\iiint_{V} y\,dV = 0.
Razão: para cada ponto (x,y,z) existe um ponto (-x,y,z) (e rotações contínuas), de modo que as somas/integrals de x e y se anulam. Se fosse necessário, poderia-se mostrar explicitamente que as integrais em \theta de \cos\theta e \sin\theta são zero.

Passo 6

Calcular o momento em z: M_{z}=\iiint_{V} z\,dV.
Montamos a integral em cilíndricas:
M_{z}=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{a}\int_{0}^{\,a-\frac{r^{2}}{a}} z \, r\,dz\,dr\,d\theta.
Integrando em z primeiro:
\int_{0}^{\,a-\frac{r^{2}}{a}} z\,dz = \frac{1}{2}\left(a-\frac{r^{2}}{a}\right)^{2}.
Então
M_{z}=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{a} r\cdot \frac{1}{2}\left(a-\frac{r^{2}}{a}\right)^{2} dr\,d\theta = \pi \int_{0}^{a} r\left(a-\frac{r^{2}}{a}\right)^{2} dr,
pois \displaystyle\int_{0}^{2\pi} \frac{1}{2} d\theta = \pi.
Expandir o quadrado:
\left(a-\frac{r^{2}}{a}\right)^{2} = a^{2} - 2r^{2} + \frac{r^{4}}{a^{2}}.
Multiplicando por r:
r\left(a^{2}-2r^{2}+\frac{r^{4}}{a^{2}}\right) = a^{2}r - 2r^{3} + \frac{r^{5}}{a^{2}}.
Integrar de 0 a a:
\int_{0}^{a}\left(a^{2}r - 2r^{3} + \frac{r^{5}}{a^{2}}\right)dr = a^{2}\cdot\frac{a^{2}}{2} - 2\cdot\frac{a^{4}}{4} + \frac{1}{a^{2}}\cdot\frac{a^{6}}{6}.
Calcule cada termo:
a^{2}\cdot\frac{a^{2}}{2} = \frac{1}{2}a^{4},\qquad 2\cdot\frac{a^{4}}{4} = \frac{1}{2}a^{4},\qquad \frac{1}{a^{2}}\cdot\frac{a^{6}}{6} = \frac{1}{6}a^{4}.
Somando:
\frac{1}{2}a^{4} - \frac{1}{2}a^{4} + \frac{1}{6}a^{4} = \frac{1}{6}a^{4}.
Portanto
M_{z} = \pi \cdot \frac{1}{6}a^{4} = \frac{\pi}{6}a^{4}.

Passo 7

Calcular \overline{z} dividindo o momento pelo volume:
\overline{z}=\frac{M_{z}}{V} = \frac{\dfrac{\pi}{6}a^{4}}{\dfrac{\pi}{2}a^{3}}.
Simplificando:
\overline{z} = \frac{1/6}{1/2}\,a = \frac{1}{3}a.

Resposta

(\overline{x},\overline{y},\overline{z})=(0,0,\tfrac{a}{3})

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