Determinar o centro, os vértices, os focos e a excentricidade das hipérboles dadas. Esboçar o gráfico.
89. 9 x^2-4 y^2-54 x+8 y+113=0

Passo 1

O enunciado pede para analisarmos a curva de equação
9x^2-4y^2-54x+8y+113=0
e determinar o centro, os vértices, os focos e a excentricidade, além de esboçar o gráfico.
O conteúdo é geometria analítica de cônicas: para resolver, vamos completar quadrados para levar à forma padrão de uma hipérbole.

Passo 2

Agrupamos termos em x e em y e completamos quadrados:
9(x^2-6x);-;4(y^2-2y);+;113=0
Dentro de cada parêntese adicionamos e subtraímos os termos necessários:
9l[(x^2-6x+9)-9r];-;4l[(y^2-2y+1)-1r];+;113=0
Expandindo e somando constantes:
9(x-3)^2-81;-;4(y-1)^2+4;+;113=0 Longrightarrow 9(x-3)^2-4(y-1)^2+36=0

Passo 3

Isolamos na forma padrão de hipérbole:
9(x-3)^2-4(y-1)^2=-36 Longrightarrow 4(y-1)^2-9(x-3)^2=36 Longrightarrow (y-1)^29-(x-3)^24=1
Daqui reconhecemos que o centro é (h,k)=(3,1). Como o primeiro termo positivo é (y-1)^2/a^2, a hipérbole abre para cima e para baixo, com
a^2=9, b^2=4

Passo 4

Os vértices ficam a uma distância a ao longo do eixo y:
(3,,1pm a)=(3,,1pm3);Longrightarrow;(3,4) e (3,-2)
Para os focos calculamos
c^2=a^2+b^2=9+4=13, c=raiz13,
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(3,,1pm c)=(3,,1pmraiz13)
A excentricidade é
e=ca=raiz133

Passo 5

As assíntotas da hipérbole são as retas que tangenciam o reticulado formado pelos retângulos de semi-eixos a e b. Para (y-1)^29-(x-3)^24=1 elas são
y-1=pmab(x-3) Longrightarrow y-1=pm32(x-3)
No esboço a hipérbole tem centro em (3,1), vértices em (3,4) e (3,-2), fendas verticais (abre para cima e para baixo) e assíntotas de coeficiente angular pm3/2.

Resposta

Centro: (3,1)
Vértices: (3,4) e (3,-2)
Focos: l(3,,1pmraiz13r)
Excentricidade: e=raiz133

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