Determinar o centro, os vértices, os focos e a excentricidade das hipérboles dadas. Esboçar o gráfico.
89.
89.
Passo 1
O enunciado pede para analisarmos a curva de equação
e determinar o centro, os vértices, os focos e a excentricidade, além de esboçar o gráfico.
O conteúdo é geometria analítica de cônicas: para resolver, vamos completar quadrados para levar à forma padrão de uma hipérbole.
O conteúdo é geometria analítica de cônicas: para resolver, vamos completar quadrados para levar à forma padrão de uma hipérbole.
Passo 2
Agrupamos termos em
e em
e completamos quadrados:
Dentro de cada parêntese adicionamos e subtraímos os termos necessários:
Expandindo e somando constantes:
Passo 3
Isolamos na forma padrão de hipérbole:
Daqui reconhecemos que o centro é
. Como o primeiro termo positivo é
, a hipérbole abre para cima e para baixo, com
Passo 4
Os vértices ficam a uma distância
ao longo do eixo
:
Para os focos calculamos
logo
A excentricidade é
Passo 5
As assíntotas da hipérbole são as retas que tangenciam o reticulado formado pelos retângulos de semi-eixos
e
. Para
elas são
No esboço a hipérbole tem centro em
, vértices em
e
, fendas verticais (abre para cima e para baixo) e assíntotas de coeficiente angular
.
Resposta
Centro:
Vértices: e
Focos:
Excentricidade:
Vértices:
Focos:
Excentricidade: