Obter a equação reduzida resultante de uma translação de eixos, classificar, dar os elementos e representar graficamente as equações.
99. 9 x^2-25 y^2-90 y-50 x=25

Passo 1

O enunciado dá a curva de segundo grau
9x^2-25y^2-90y-50x=25
e pede que façamos uma translação de eixos para reduzi-la à forma canônica, em seguida classificar o tipo de cônica, determinar seus elementos principais (centro, semi-eixos, vértices, focos, assíntotas) e esboçar seu gráfico. Vamos usar completamento de quadrados para encontrar a nova origem.

Passo 2

Agrupamos termos em x e em y e completamos o quadrado:
9x^2-50x =9l(x^2-tfrac509xr) =9l[(x-tfrac259)^2-tfrac62581r] =9(x-tfrac259)^2-tfrac6259,
-25y^2-90y =-25l(y^2+tfrac9025yr) =-25l[(y+tfrac95)^2-tfrac8125r] =-25(y+tfrac95)^2+81
Substituindo na equação original:
9(x-tfrac259)^2-tfrac6259; -25(y+tfrac95)^2+81 =25
Reagrupando constantes:
9(x-tfrac259)^2-25(y+tfrac95)^2 =25+tfrac6259-81 =tfrac2259+tfrac6259-tfrac7299 =tfrac1219

Passo 3

Definindo a translação
X=x-tfrac259, Y=y+tfrac95,
a equação torna-se
9X^2-25Y^2=tfrac1219
Dividindo ambos os lados por tfrac1219 obtemos a forma canônica
X^2,tfrac12181, -Y^2,tfrac121225, =1

Passo 4

Como temos diferença de quadrados na forma canônica, trata-se de uma hipérbole. O termo positivo está em X^2, logo o eixo transverso é horizontal em relação aos eixos X,Y.

Passo 5

Elementos principais:
Centro na nova origem (X,Y)=(0,0), isto é, em
(xC,yC)=l(tfrac259,,-tfrac95r)
a^2=tfrac12181, b^2=tfrac121225, de modo que
a=tfrac119, b=tfrac1115
c^2=a^2+b^2=tfrac12181+tfrac121225=tfrac41142025, logo
c=raiz411445
Vértices: (X,Y)=(pm a,0), isto é
l(tfrac259pmtfrac119,,-tfrac95r) ;Longrightarrow; l(4,,-tfrac95r)el(tfrac149,,-tfrac95r)
Focos: (X,Y)=(pm c,0), isto é
l(tfrac259pmraiz411445,,-tfrac95r)

Passo 6

Assíntotas na forma Y=pmbaX, isto é Y=pmtfrac35X. Voltando a x,y:
y+tfrac95 =pmtfrac35l(x-tfrac259r)
O gráfico é uma hipérbole centrada em l(tfrac259,-,tfrac95r), com ramos abertos para a direita e para a esquerda e assíntotas inclinadas de coeficiente pm3/5.

Resposta

Equação reduzida:
X^2tfrac12181 -Y^2tfrac121225 =1, X=x-tfrac259,, Y=y+tfrac95
Classificação: hipérbole.
Centro: l(tfrac259,-tfrac95r).
Semi-eixos: a=tfrac119, b=tfrac1115.
Vértices: l(4,-tfrac95r) e l(tfrac149,-tfrac95r).
Focos: l(tfrac259pmtfracraiz411445,-,tfrac95r).
Assíntotas:
y+tfrac95 =pmtfrac35l(x-tfrac259r)
Esboço: hipérbole com ramos horizontais e assíntotas de inclinação pm3/5.

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