Obter a equação reduzida resultante de uma translação de eixos, classificar, dar os elementos e representar graficamente as equações.
99.
99.
Passo 1
O enunciado dá a curva de segundo grau
e pede que façamos uma translação de eixos para reduzi-la à forma canônica, em seguida classificar o tipo de cônica, determinar seus elementos principais (centro, semi-eixos, vértices, focos, assíntotas) e esboçar seu gráfico. Vamos usar completamento de quadrados para encontrar a nova origem.
Passo 2
Agrupamos termos em
e em
e completamos o quadrado:
Substituindo na equação original:
Reagrupando constantes:
Passo 3
Definindo a translação
a equação torna-se
Dividindo ambos os lados por
obtemos a forma canônica
Passo 4
Como temos diferença de quadrados na forma canônica, trata-se de uma hipérbole. O termo positivo está em
, logo o eixo transverso é horizontal em relação aos eixos
.
Passo 5
Elementos principais:
– Centro na nova origem , isto é, em
– Centro na nova origem
–
,
, de modo que
–
, logo
– Vértices:
, isto é
– Focos:
, isto é
Passo 6
Assíntotas na forma
, isto é
. Voltando a
:
O gráfico é uma hipérbole centrada em
, com ramos abertos para a direita e para a esquerda e assíntotas inclinadas de coeficiente
.
Resposta
Equação reduzida:
Classificação: hipérbole.
Centro: .
Semi-eixos: ,
.
Vértices: e
.
Focos: .
Assíntotas:
Centro:
Semi-eixos:
Vértices:
Focos:
Assíntotas:
Esboço: hipérbole com ramos horizontais e assíntotas de inclinação
.