Determinar o círculo de curvatura das seguintes curvas, nos pontos indicados, repre-sentando-os geometricamente:
a) r(t) = (2 cos(t), 2 sen(t), 2 cos(t)), 0 <= t <= 2 pi ; P0(2, 0, 2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos uma curva definida pela função vetorial , onde varia de t a 0. Queremos encontrar o círculo de curvatura nesse ponto específico . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como derivadas de funções vetoriais, curvatura e raio de curvatura.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar para qual valor de t a função vec(r)(t) resulta nas coordenadas do ponto . Olhando para vec(r)(t):
Veja que a primeira e a terceira componentes são iguais, , então . Isso acontece quando (lembrando que está entre t e 0).

Passo 3

Agora que sabemos que no ponto P0 corresponde a , vamos calcular a primeira e a segunda derivadas de vec(r)(t) em relação a t. Essas derivadas são essenciais para encontrar o vetor velocidade, a aceleração e a curvatura.
Primeira derivada (velocidade):
Segunda derivada (aceleração):

Passo 4

Vamos avaliar essas derivadas no ponto :

Passo 5

Agora, precisamos encontrar o vetor normal principal, que é dado pela fórmula:
Primeiro, calculamos o módulo de :
Então, o vetor normal é:

Passo 6

A curvatura kappa é dada por:
Vamos calcular o produto vetorial :
O módulo desse vetor é:
Agora, o módulo de :
Então, a curvatura é:

Passo 7

O raio de curvatura R é o inverso da curvatura:

Passo 8

Para encontrar o centro de curvatura, usamos a fórmula:
Sabemos que , e .
Multiplicando R pelo vetor normal:
Então, o centro de curvatura é:

Resposta

O círculo de curvatura no ponto tem centro em e raio igual a raiz(2). Geometricamente, esse círculo está localizado no espaço com essas características de centro e raio.

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