Determinar o círculo de curvatura das seguintes curvas, nos pontos indicados, repre-sentando-os geometricamente:
a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos uma curva definida pela função vetorial , onde varia de a . Queremos encontrar o círculo de curvatura nesse ponto específico . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como derivadas de funções vetoriais, curvatura e raio de curvatura.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar para qual valor de a função resulta nas coordenadas do ponto . Olhando para :
Veja que a primeira e a terceira componentes são iguais, , então . Isso acontece quando (lembrando que está entre e ).
Passo 3
Agora que sabemos que no ponto corresponde a , vamos calcular a primeira e a segunda derivadas de em relação a . Essas derivadas são essenciais para encontrar o vetor velocidade, a aceleração e a curvatura.
Primeira derivada (velocidade):
Segunda derivada (aceleração):
Passo 4
Vamos avaliar essas derivadas no ponto :
Passo 5
Agora, precisamos encontrar o vetor normal principal, que é dado pela fórmula:
Primeiro, calculamos o módulo de :
Então, o vetor normal é:
Passo 6
A curvatura é dada por:
Vamos calcular o produto vetorial :
O módulo desse vetor é:
Agora, o módulo de :
Então, a curvatura é:
Passo 7
O raio de curvatura R é o inverso da curvatura:
Passo 8
Para encontrar o centro de curvatura, usamos a fórmula:
Sabemos que , e .
Multiplicando R pelo vetor normal:
Então, o centro de curvatura é:
Resposta
O círculo de curvatura no ponto tem centro em e raio igual a raiz(2). Geometricamente, esse círculo está localizado no espaço com essas características de centro e raio.