Determinar os pontos da curva onde o raio de curvatura é menor:
c) ciclóide r(t) = (t - sen(t), 1 - cos(t)), t em [0, 2pi]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar os pontos da curva chamada ciclóide onde o raio de curvatura é menor. A curva ciclóide é dada por , onde varia de a . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente sobre curvatura e raio de curvatura de curvas paramétricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o raio de curvatura. O raio de curvatura em um ponto de uma curva nos diz quão “curvada” a curva está nesse ponto. Quanto menor o raio, mais fechada é a curva naquele ponto. Para curvas paramétricas , a fórmula do raio de curvatura é:
Então, nosso objetivo é encontrar os valores de que minimizam .

Passo 3

Vamos começar calculando as derivadas necessárias. Primeiro, derivamos e em relação a :

Passo 4

Agora, substituímos essas derivadas na fórmula do raio de curvatura:
Vamos simplificar o numerador e o denominador:
No numerador:
(Usamos a identidade ).
Então:
Simplificando o denominador:
(Novamente, usamos ).
Portanto:

Passo 5

Vamos simplificar ainda mais a expressão. Note que . Então:

Passo 6

Para encontrar onde é mínima, precisamos minimizar . Como é constante, o mínimo de ocorre onde é mínimo.
Sabemos que varia entre e . Então, varia entre e . O mínimo de é , que ocorre quando .

Passo 7

Vamos verificar os valores de no intervalo onde . Isso acontece quando:

Passo 8

Agora, vamos encontrar as coordenadas desses pontos na ciclóide para finalizar.
Para :
Então, o ponto é .
Para :
Então, o ponto é .

Resposta

Os pontos da ciclóide onde o raio de curvatura é mínimo são e .

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