Determinar os pontos da curva onde o raio de curvatura é menor:
c) ciclóide
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar os pontos da curva chamada ciclóide onde o raio de curvatura é menor. A curva ciclóide é dada por , onde varia de a . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente sobre curvatura e raio de curvatura de curvas paramétricas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o raio de curvatura. O raio de curvatura em um ponto de uma curva nos diz quão “curvada” a curva está nesse ponto. Quanto menor o raio, mais fechada é a curva naquele ponto. Para curvas paramétricas , a fórmula do raio de curvatura é:
Então, nosso objetivo é encontrar os valores de que minimizam .
Passo 3
Vamos começar calculando as derivadas necessárias. Primeiro, derivamos e em relação a :
Passo 4
Agora, substituímos essas derivadas na fórmula do raio de curvatura:
Vamos simplificar o numerador e o denominador:
No numerador:
(Usamos a identidade ).
Então:
Simplificando o denominador:
(Novamente, usamos ).
Portanto:
Passo 5
Vamos simplificar ainda mais a expressão. Note que . Então:
Passo 6
Para encontrar onde é mínima, precisamos minimizar . Como é constante, o mínimo de ocorre onde é mínimo.
Sabemos que varia entre e . Então, varia entre e . O mínimo de é , que ocorre quando .
Passo 7
Vamos verificar os valores de no intervalo onde . Isso acontece quando:
Passo 8
Agora, vamos encontrar as coordenadas desses pontos na ciclóide para finalizar.
Para :
Então, o ponto é .
Para :
Então, o ponto é .
Resposta
Os pontos da ciclóide onde o raio de curvatura é mínimo são e .