Encontrar o vetor tangente unitário às seguintes curvas, nos pontos indicados:
g) r(t) = (t, 2 t^2, 3 t^3) ; P0(1,2,3)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar o vetor tangente unitário da curva definida por no ponto P0(1,2,3). A matéria envolvida aqui é cálculo vetorial, especificamente o conceito de vetores tangentes e vetores unitários. Vamos precisar calcular a derivada da posição em relação a t para achar o vetor tangente e, depois, normalizar esse vetor para torná-lo unitário.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o valor de t que corresponde ao ponto P0(1,2,3). Para isso, igualamos as componentes de vec(r)(t) às coordenadas de P0:
Resolvendo, vemos que satisfaz todas as equações.

Passo 3

Agora, vamos encontrar o vetor derivada , que nos dá o vetor tangente à curva em qualquer ponto t. Derivando cada componente de vec(r)(t) em relação a t:

Passo 4

Com , substituímos na derivada para achar o vetor tangente no ponto P0:

Passo 5

Agora, precisamos transformar o vetor em um vetor unitário. Isso significa que vamos dividir o vetor pelo seu módulo (comprimento). Primeiro, calculamos o módulo:

Passo 6

Finalmente, dividimos cada componente do vetor tangente pelo seu módulo para obter o vetor unitário:

Resposta

O vetor tangente unitário da curva no ponto P0(1,2,3) é:

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