Encontrar o vetor tangente unitário às seguintes curvas, nos pontos indicados:
g)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar o vetor tangente unitário da curva definida por no ponto . A matéria envolvida aqui é cálculo vetorial, especificamente o conceito de vetores tangentes e vetores unitários. Vamos precisar calcular a derivada da posição em relação a para achar o vetor tangente e, depois, normalizar esse vetor para torná-lo unitário.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar o valor de que corresponde ao ponto . Para isso, igualamos as componentes de às coordenadas de :
Resolvendo, vemos que satisfaz todas as equações.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o vetor derivada , que nos dá o vetor tangente à curva em qualquer ponto t. Derivando cada componente de vec(r)(t) em relação a t:
Passo 4
Com , substituímos na derivada para achar o vetor tangente no ponto P0:
Passo 5
Agora, precisamos transformar o vetor em um vetor unitário. Isso significa que vamos dividir o vetor pelo seu módulo (comprimento). Primeiro, calculamos o módulo:
Passo 6
Finalmente, dividimos cada componente do vetor tangente pelo seu módulo para obter o vetor unitário:
Resposta
O vetor tangente unitário da curva no ponto P0(1,2,3) é: