Determinar a curvatura das seguintes curvas, nos pontos indicados.
c) x = 1/(1+t), y = 1/(1-t), t in (1,+infinito); t = 2

Passo 1

Primeiro, vamos entender qual é o problema. Temos uma curva definida por duas funções paramétricas e , e queremos encontrar a curvatura dessa curva no ponto onde . Para resolver isso, vamos usar o conceito de curvatura de uma curva paramétrica, que envolve calcular as primeiras e segundas derivadas das funções e .

Passo 2

Vamos começar calculando a primeira derivada de e em relação a . A primeira derivada nos dá a taxa de variação de e em relação a .
Para :
Para :

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada de e em relação a . A segunda derivada nos ajuda a entender como a taxa de variação está mudando.
Para :
Para :

Passo 4

Com as primeiras e segundas derivadas em mãos, podemos usar a fórmula da curvatura para curvas paramétricas:
Essa fórmula nos dá uma medida de quão “curvada” está a curva em um ponto específico.

Passo 5

Vamos substituir nas derivadas que calculamos:
Para :
Para :
Para :
Para :
Agora, substituímos esses valores na fórmula da curvatura:
Simplificando o numerador:
E o denominador:
Portanto:

Resposta

A curvatura da curva no ponto onde é aproximadamente .

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