Determinar a curvatura das seguintes curvas, nos pontos indicados.
c)
c)
Passo 1
Primeiro, vamos entender qual é o problema. Temos uma curva definida por duas funções paramétricas
e
, e queremos encontrar a curvatura dessa curva no ponto onde
. Para resolver isso, vamos usar o conceito de curvatura de uma curva paramétrica, que envolve calcular as primeiras e segundas derivadas das funções
e
.
Passo 2
Vamos começar calculando a primeira derivada de
e
em relação a
. A primeira derivada nos dá a taxa de variação de
e
em relação a
.
Para
:
Para
:
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada de
e
em relação a
. A segunda derivada nos ajuda a entender como a taxa de variação está mudando.
Para
:
Para
:
Passo 4
Com as primeiras e segundas derivadas em mãos, podemos usar a fórmula da curvatura
para curvas paramétricas:
Essa fórmula nos dá uma medida de quão “curvada” está a curva em um ponto específico.
Passo 5
Vamos substituir
nas derivadas que calculamos:
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Agora, substituímos esses valores na fórmula da curvatura:
Simplificando o numerador:
E o denominador:
Portanto:
Resposta
A curvatura da curva no ponto onde
é aproximadamente
.