Determinar a curvatura das seguintes curvas, nos pontos indicados.
a) r(t) = (t, 1/(1+t)), t>0 ; P0(1, 1/2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a curvatura da curva definida por no ponto . A curvatura nos dá uma ideia de quão “curvada” a trajetória está naquele ponto. Para isso, vamos precisar usar derivadas da função vetorial e algumas fórmulas de cálculo diferencial.

Passo 2

Primeiro, identificamos o valor de t que corresponde ao ponto . Olhando para a função :
  • A coordenada x é t, então .
  • A coordenada y é , que confirma quando .
Então, vamos calcular as derivadas primeira e segunda de vec(r)(t) em .

Passo 3

Calculando a primeira derivada :
Em :
Calculando a segunda derivada :
Em :

Passo 4

Agora, usamos a fórmula da curvatura kappa para curvas parametrizadas por vec(r)(t):
Como estamos em duas dimensões, o produto vetorial é escalar e dado por:
Substituindo os valores em :
Calculando a magnitude de :
Elevando ao cubo:

Passo 5

Finalmente, substituímos na fórmula da curvatura:

Resposta

A curvatura da curva no ponto é .

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