Determinar a curvatura das seguintes curvas, nos pontos indicados.
a)
a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a curvatura da curva definida por
no ponto
. A curvatura nos dá uma ideia de quão “curvada” a trajetória está naquele ponto. Para isso, vamos precisar usar derivadas da função vetorial e algumas fórmulas de cálculo diferencial.
Passo 2
Primeiro, identificamos o valor de
que corresponde ao ponto
. Olhando para a função
:
- A coordenada
é , então . - A coordenada
é , que confirma quando .
Então, vamos calcular as derivadas primeira e segunda de
em
.
Passo 3
Calculando a primeira derivada
:
Em
:
Calculando a segunda derivada
:
Em
:
Passo 4
Agora, usamos a fórmula da curvatura
para curvas parametrizadas por
:
Como estamos em duas dimensões, o produto vetorial
é escalar e dado por:
Substituindo os valores em
:
Calculando a magnitude de
:
Elevando ao cubo:
Passo 5
Finalmente, substituímos na fórmula da curvatura:
Resposta
A curvatura da curva no ponto
é
.