Determinar e classificar os pontos críticos da função
J(x, y)=2 x^3-3 x^2+y^2-9

Passo 1

O enunciado dá a função
J(x,y)=2x^3-3x^2+y^2-9
e pede para determinar e classificar os pontos críticos.
Conteúdo: derivadas parciais para achar pontos críticos e teste da Hessiana para classificar (mínimo, máximo ou ponto de sela).

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de J:
partial Jpartial x=6x^2-6x=6x(x-1), partial Jpartial y=2y

Passo 3

Impondo nabla J=0 obtemos o sistema
6x(x-1)=0, 2y=0
que dá
x=0 ou x=1, y=0
Logo, os pontos críticos são (0,0) e (1,0).

Passo 4

Para classificar, montamos a matriz Hessiana
H(x,y) = Jxx & Jxy Jyx & Jyy = 12x - 6 & 0 0 & 2

Passo 5

Avaliamo-la em cada ponto e usamos D=det H e o sinal de Jxx:
No ponto (0,0):
Jxx(0,0)=-6, Jyy(0,0)=2, D=( -6)cdot2=-12<0
Logo é ponto de sela.
No ponto (1,0):
Jxx(1,0)=12cdot1-6=6, Jyy(1,0)=2, D=6cdot2=12>0
e Jxx(1,0)>0, logo é mínimo local.

Resposta

(0,0) ponto de sela.
(1,0) mínimo local.

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