Sejam P(x)=an x^n+an-1 x^n-1+cdots+a1 x+a0 e Q(x)=bm x^m+bm-1 x^m-1+cdots+b1 x+b0 com an neq 0 e bm neq 0. Calcule os seguintes limites:
lim x +infty P(x)

Passo 1

O enunciado pede limxto+inftyP(x) onde
P(x)=anx^n+an-1x^n-1+cdots+a1x+a0,
com anneq0. O conteúdo envolvido é o comportamento assintótico de polinômios para xto+infty. Vamos usar o fato de que, para grandes lvert xrvert, o termo de maior grau domina o valor de P(x).

Passo 2

Se n=0, então P(x)=a0 é constante e imediatamente
limxto+inftyP(x)=a0

Passo 3

Se n>=1, o termo dominante é anx^n. Como para xto+infty temos x^nto+infty, o sinal de P(x) segue o sinal de an. Logo,
  • Se an>0, então anx^nto+infty e limxto+inftyP(x)=+infty
  • Se an<0, então anx^nto-infty e limxto+inftyP(x)=-infty

Resposta

Se n=0, então limxto+inftyP(x)=a0.
Se n>=1, então
limxto+inftyP(x)= +infty, & an>0, -infty, & an<0

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