Dê exemplos onde encontramos as indeterminações
e
e que após manipulações algébricas conseguimos calcular o limite.
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos exemplos de limites que, ao serem substituídos diretamente, geram as indeterminações
,
,
e
, e em seguida usar manipulações algébricas — como fatoração, divisão por termo dominante, multiplicação pelo conjugado e reescrever produto como quociente — para obter o valor do limite.
Passo 2
Exemplo de indeterminação
:
Substituindo
dá
. Fatoramos o numerador:
então
Logo
Passo 3
Exemplo de indeterminação
:
Dividimos numerador e denominador por
:
À medida que
,
e
, então
Passo 4
Exemplo de indeterminação
:
Multiplicamos pela forma conjugada:
Em seguida, fatoramos
dentro da raiz e no denominador:
Tomando
faz
, logo
Passo 5
Exemplo de indeterminação
:
Como
dá
e
. Reescrevemos como quociente:
Agora temos a forma
. Aplicamos L’Hôpital: derivando numerador e denominador,
então