Dê exemplos onde encontramos as indeterminações 00, inftyinfty, infty-infty e infty cdot 0 e que após manipulações algébricas conseguimos calcular o limite.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos exemplos de limites que, ao serem substituídos diretamente, geram as indeterminações
tfrac00, tfracinftyinfty, infty - infty e inftycdot0, e em seguida usar manipulações algébricas — como fatoração, divisão por termo dominante, multiplicação pelo conjugado e reescrever produto como quociente — para obter o valor do limite.

Passo 2

Exemplo de indeterminação tfrac00:
limxto1x^2-1x-1
Substituindo x=1 tfrac00. Fatoramos o numerador:
x^2-1=(x-1)(x+1),
então
x^2-1x-1=(x-1)(x+1)x-1=x+1(xneq1)
Logo
limxto1x^2-1x-1=limxto1(x+1)=2

Passo 3

Exemplo de indeterminação tfracinftyinfty:
limxtoinfty2x^2+3xx^2-1
Dividimos numerador e denominador por x^2:
2x^2+3xx^2-1 =2+tfrac3x1-tfrac1x^2
À medida que xtoinfty, tfrac3xto0 e tfrac1x^2to0, então
limxtoinfty2+tfrac3x1-tfrac1x^2 =2+01-0=2

Passo 4

Exemplo de indeterminação infty-infty:
limxtoinftyl(raizx^2+x-xr)
Multiplicamos pela forma conjugada:
raizx^2+x-x =(raizx^2+x-x)(raizx^2+x+x)raizx^2+x+x =x^2+x - x^2raizx^2+x+x =xraizx^2+x+x
Em seguida, fatoramos x dentro da raiz e no denominador:
xraizx^2(1+tfrac1x)+x =xxraiz1+tfrac1x+x =1raiz1+tfrac1x+1
Tomando xtoinfty faz tfrac1xto0, logo
limxtoinftyl(raizx^2+x-xr) =1raiz1+0+1=12

Passo 5

Exemplo de indeterminação inftycdot0:
limxto0^+ x ln x
Como xto0^+ xto0 e ln xto-infty. Reescrevemos como quociente:
x ln x = ln x1/x
Agora temos a forma tfrac-infty+infty. Aplicamos L’Hôpital: derivando numerador e denominador,
ddx(ln x) = 1x, ddx(1/x) = -1x^2,
então
limxto0^+ ln x1/x = limxto0^+ tfrac1x-tfrac1x^2 = limxto0^+ (-x) = 0

Resposta

1. limxto1x^2-1x-1=2 (indeterminação tfrac00).
2. limxtoinfty2x^2+3xx^2-1=2 (indeterminação tfracinftyinfty).
3. limxtoinftyl(raizx^2+x-xr)=tfrac12 (indeterminação infty-infty).
4. limxto0^+xln x=0 (indeterminação inftycdot0).

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