Encontre os valores de máximo e mínimo da função f(x, y)=3 x+4 y restrito a circuaferencia x^2+y^2=1
lagrange

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os extremos da função
f(x,y)=3x+4y
sujeita à restrição
x^2+y^2=1
O conteúdo é o método de multiplicadores de Lagrange, que usa a ideia de igualar o gradiente de f ao gradiente da restrição vezes um parâmetro lambda.

Passo 2

Definimos a função de Lagrange
L(x,y,lambda)=f(x,y)-lambdal(x^2+y^2-1r)
e impomos as condições
partialLpartial x=0, partialLpartial y=0, partialLpartial lambda=0

Passo 3

Calculando as derivadas parciais:
partialLpartial x=3-2lambda x=0, partialLpartial y=4-2lambda y=0, partialLpartial lambda=x^2+y^2-1=0
Das duas primeiras equações vem
x=32lambda, y=42lambda

Passo 4

Substituindo em x^2+y^2=1:
l(32lambdar)^2+l(42lambdar)^2 =9+164lambda^2=254lambda^2=1 ;Longrightarrow; lambda^2=254 ;Longrightarrow; lambda=pm52

Passo 5

Para lambda=tfrac52 obtemos
x=32cdot52=35, y=42cdot52=45,
e
fl(tfrac35,tfrac45r) =3cdot35+4cdot45 =9+165=5
Para lambda=-tfrac52 obtemos
x=-35, y=-45,
e
fl(-tfrac35,-tfrac45r) =3cdotl(-tfrac35r)+4cdotl(-tfrac45r) =-5

Resposta

Máximo de f é 5 em l(tfrac35,tfrac45r).
Mínimo de f é -5 em l(-tfrac35,-tfrac45r).

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