E) Determine a convergência das seguintes séries. Se convergirem, determine a sua soma.
sumk=1^infty ln (kk+1)

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série
sumk=1^infty ln!l(tfrackk+1r)
Este é um problema de convergência de séries e, em caso de convergência, calcular a soma. Vamos usar a propriedade do logaritmo que transforma o termo geral em diferença, o que costuma levar a um telescópio.

Passo 2

Use a identidade
ln!l(tfrackk+1r) = ln(k) - ln(k+1)
Assim, cada termo da série torna-se uma diferença de termos consecutivos.

Passo 3

Definimos a soma parcial até n como
Sn = sumk=1^nl[ln(k)-ln(k+1)r]
Escrevendo os primeiros termos fica claro o telescópio:
Sn = (ln(1)-ln(2)) + (ln(2)-ln(3)) + cdots + (ln(n)-ln(n+1))

Passo 4

Ao somar em cascata, todos os termos internos se cancelam, sobrando apenas
Sn = ln(1) - ln(n+1) = -ln(n+1),
já que ln(1)=0.

Passo 5

Calculamos o limite da soma parcial quando ntoinfty:
limntoinftySn = limntoinftyl(-ln(n+1)r) = -infty
Isso mostra que os somatórios não se aproximam de um valor finito, mas decrescem sem limite inferior.

Resposta

A série diverge (os seus somatórios tendem a -infty).

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