E) Determine a convergência das seguintes séries. Se convergirem, determine a sua soma.
Passo 1
O enunciado pede para analisar a convergência da série
Este é um problema de convergência de séries e, em caso de convergência, calcular a soma. Vamos usar a propriedade do logaritmo que transforma o termo geral em diferença, o que costuma levar a um telescópio.
Passo 2
Use a identidade
Assim, cada termo da série torna-se uma diferença de termos consecutivos.
Passo 3
Definimos a soma parcial até
como
Escrevendo os primeiros termos fica claro o telescópio:
Passo 4
Ao somar em cascata, todos os termos internos se cancelam, sobrando apenas
já que
.
Passo 5
Calculamos o limite da soma parcial quando
:
Isso mostra que os somatórios não se aproximam de um valor finito, mas decrescem sem limite inferior.
Resposta
A série diverge (os seus somatórios tendem a
).