Determinar as componentes tangencial e normal da aceleração de uma partícula que se move no espaço, se seu vetor posição em um instante qualquer t, for dado por:
r(t)=(e^t cos t, e^t sen t, e^t)

Passo 1

O enunciado pede para decompor a aceleração de uma partícula em duas partes: a componente tangencial (que muda o módulo da velocidade) e a componente normal (que muda a direção). O conteúdo envolvido é cinemática vetorial no espaço e vamos usar as definições
— tangencial: aT=dfracddt| v|
— normal: aN=raiz| a|^2 - aT^2

Passo 2

Começamos derivando o vetor posição
r(t)=l(e^tcos t,,e^tsen t,,e^tr)
para obter a velocidade e depois a aceleração:
v(t)= r'(t)=l(e^t(cos t-sen t),,e^t(sen t+cos t),,e^tr)
a(t)= v'(t)=l(-2e^tsen t,,2e^tcos t,,e^tr)

Passo 3

Calculamos agora o módulo da velocidade:
| v(t)|=raize^2tl[(cos t-sen t)^2+(sen t+cos t)^2+1r]=raiz3,e^t
e daí a componente tangencial:
aT=ddt| v(t)|=ddt(raiz3,e^t)=raiz3,e^t

Passo 4

Para a normal, achamos o módulo da aceleração:
| a(t)|=raiz(-2e^tsen t)^2+(2e^tcos t)^2+(e^t)^2=raiz5,e^t
e aplicamos
aN=raiz| a(t)|^2 - aT^2=raiz5e^2t-3e^2t=raiz2,e^t

Resposta

aT=raiz3,e^t, aN=raiz2,e^t

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