Exercício 7
Se v4 é combinação linear dos vetores v1, v2, v3, v5, v6, cdots, vn, demonstre que v1, v2, v3, v4, cdots, vn é um conjunto L.D de vetores de um espaço vetorial V.

Passo 1

O enunciado diz que temos o conjunto de vetores v1,v2,v3,v4,dots,vn em um espaço vetorial V e que v4 é combinação linear de v1,v2,v3,v5,dots,vn. Queremos mostrar que esse conjunto é linearmente dependente, usando a definição de dependência linear.

Passo 2

Por definição, um conjunto w1,dots,wk é linearmente dependente se existem escalares lambda1,dots,lambdak, não todos zero, tais que
lambda1w1+cdots+lambdakwk=0
Nosso objetivo é encontrar tais escalares para v1,dots,vn.

Passo 3

Como v4 é combinação linear dos outros, existem escalares alpha1,alpha2,alpha3,alpha5,dots,alphan tais que
v4 =alpha1v1+alpha2v2+alpha3v3 +alpha5v5+cdots+alphanvn
Passando tudo para um lado, obtemos
-v4+alpha1v1+alpha2v2+alpha3v3 +alpha5v5+cdots+alphanvn=0
Aqui definimos os escalares de dependência como
lambda4=-1 e lambdai=alphai para ineq4. Note que lambda4neq0, então nem todos os lambdai são zero.

Resposta

Como encontramos uma combinação linear não trivial que resulta em zero, o conjunto v1,v2,v3,v4,dots,vn é linearmente dependente.

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