Exercício 7
Se
é combinação linear dos vetores
, demonstre que
é um conjunto L.D de vetores de um espaço vetorial
.
Se
Passo 1
O enunciado diz que temos o conjunto de vetores
em um espaço vetorial
e que
é combinação linear de
. Queremos mostrar que esse conjunto é linearmente dependente, usando a definição de dependência linear.
Passo 2
Por definição, um conjunto
é linearmente dependente se existem escalares
, não todos zero, tais que
Nosso objetivo é encontrar tais escalares para
.
Passo 3
Como
é combinação linear dos outros, existem escalares
tais que
Passando tudo para um lado, obtemos
Aqui definimos os escalares de dependência como
e
para
. Note que
, então nem todos os
são zero.
Resposta
Como encontramos uma combinação linear não trivial que resulta em zero, o conjunto
é linearmente dependente.