Determinar as componentes tangencial e normal da aceleração de uma partícula que se move no espaço, se seu vetor posição em um instante qualquer t, for dado por:
r(t)=(3 t, t^3, t)

Passo 1

O enunciado dá o vetor posição de uma partícula em função do tempo
r(t) = (3t,;t^3,;t)
e pede as componentes tangencial e normal da aceleração.
O conteúdo envolvido é cinemática vetorial: vamos precisar de
  1. vetor velocidade v(t) e vetor aceleração a(t),
  2. definição da componente tangencial
    aT = acdotv|v|,
  3. definição da componente normal
    aN = |vtimesa||v|

Passo 2

Calculamos primeiro
v(t) = drdt = (3,;3t^2,;1),
a(t) = dvdt = (0,;6t,;0)

Passo 3

A componente tangencial é
aT = acdotv|v|
Aqui
acdotv = 0cdot 3 + 6tcdot(3t^2) + 0cdot1 = 18t^3,
|v| = raiz3^2 + (3t^2)^2 + 1^2 = raiz9 + 9t^4 + 1 = raiz10 + 9t^4
Logo
aT = 18,t^3raiz10 + 9t^4

Passo 4

A componente normal é
aN = |vtimesa||v|
O produto vetorial é
vtimesa = (3,;3t^2,;1)times(0,;6t,;0) = (-6t,;0,;18t),
|vtimesa| = raiz(-6t)^2 + 0^2 + (18t)^2 = raiz36t^2 + 324t^2 = 6,|t|,raiz10
Dividindo por |v|
aN = 6,|t|,raiz10raiz10 + 9t^4 = 6,|t|,raiz1010 + 9t^4

Resposta

boxedaT(t) = 18,t^3raiz10 + 9t^4, aN(t) = 6,|t|,raiz10raiz10 + 9t^4

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