Exercício 7
O vetor u=(17,-4,5) é combinação linear dos vetores v=(2,1,-3), w= (1,-2,4) ?

Passo 1

Beleza, o exercício pede para ver se o vetor
u=(17,,-4,,5)
é combinação linear dos vetores
v=(2,,1,,-3)e w=(1,,-2,,4)
Conteúdo: combinação linear de vetores e sistemas lineares.
O que vamos precisar: achar escalares a e b tais que
a,v + b,w = u,
ou seja, resolver um sistema de três equações em duas incógnitas.

Passo 2

Combinação linear significa que
a,(2,1,-3) + b,(1,-2,4) = (17,-4,5)
Isso gera o sistema, componte a componente:
  1. 2a + 1b = 17
  2. 1a - 2b = -4
  3. -3a + 4b = 5
    Cada equação vem de igualar a primeira, segunda e terceira coordenadas.

Passo 3

Vamos resolver as duas primeiras para achar a e b:
Da eq. 1:
b = 17 - 2a
Substituindo na eq. 2:
a - 2(17 - 2a) = -4 ;Longrightarrow; a - 34 + 4a = -4 ;Longrightarrow; 5a = 30 ;Longrightarrow; a = 6
Então
b = 17 - 2cdot6 = 17 - 12 = 5

Passo 4

Agora a gente confere na terceira equação:
-3a + 4b = -3cdot6 + 4cdot5 = -18 + 20 = 2
Mas a eq. 3 pedia que desse 5. Aqui deu 2neq5, ou seja, a solução (a,b)=(6,5) não satisfaz tudo.
Isso mostra que não existe par (a,b) que resolva as três de uma vez, então não dá pra escrever u como combinação de v e w.

Resposta

Não. O vetor u não é combinação linear de v e w.

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