Exercício 5 Quais dos seguintes conjuntos são L.I em V=P4(R) ?
2 x, dotx^2+1, x+1, x^2-1

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
,2x,;x^2+1,;x+1,;x^2-1
é linearmente independente em V = P4(R).
Para isso, vamos usar o conceito de independência linear: dizer que esses polinômios são L.I. se a única solução da combinação linear
a1cdot 2x ;+; a2(x^2+1) ;+; a3(x+1) ;+; a4(x^2-1) ;=;0
for a trivial a1=a2=a3=a4=0.

Passo 2

Escrevendo a combinação e agrupando termos semelhantes, temos
a1,2x ;+; a2x^2 + a2 ;+; a3x + a3 ;+; a4x^2 - a4 ;=;0,
ou seja,
(a2+a4),x^2 ;+;(2a1+a3),x ;+;(a2+a3-a4) ;=;0

Passo 3

Igualando os coeficientes de x^2, x e termo constante a zero, obtemos o sistema
a2 + a4 = 0, 2a1 + a3 = 0, a2 + a3 - a4 = 0

Passo 4

Resolvendo: da segunda equação a3 = -2a1. Da primeira a4 = -a2. Substituindo essas em
a2 + a3 - a4=0
vem
a2 + (-2a1) - (-a2) = 0 Longrightarrow 2a2 -2a1 = 0 Longrightarrow a2 = a1
Logo
a1=t, a2=t, a3=-2t, a4=-t
é solução para qualquer t. Escolhendo tneq0 temos combinação não trivial.

Resposta

O conjunto é linearmente dependente (LD), portanto não é L.I.

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