Exercício 8 Mostre que se v1, v2, v3, v4 é um conjunto L.D de vetores em um espaço vetorial V e se v5 é um vetor qualquer em V, então v1, v2, v3, v4, v5 também é L.D.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se v1,v2,v3,v4 é linearmente dependente em V e v5 é qualquer vetor em V, então o conjunto ampliado v1,v2,v3,v4,v5 também é linearmente dependente. Vamos usar a definição de dependência linear: um conjunto w1,dots,wk é L.D. se existem escalares não todos nulos com combinação linear nula.

Passo 2

Como v1,v2,v3,v4 é L.D., existem escalares alpha1,alpha2,alpha3,alpha4, nem todos zero, tais que
alpha1v1+alpha2v2+alpha3v3+alpha4v4=0

Passo 3

Defina alpha5=0. Então
alpha1v1+alpha2v2+alpha3v3+alpha4v4+alpha5v5 =l(alpha1v1+alpha2v2+alpha3v3+alpha4v4r)+0cdot v5 =0
Como nem todos os alphai (para i=1,dots,5) são zero (já que algum dos alpha1,dots,alpha4 é não nulo), isso mostra que v1,v2,v3,v4,v5 é L.D. por definição.

Resposta

O conjunto v1,v2,v3,v4,v5 é linearmente dependente.

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