Exercício 8 Mostre que se
é um conjunto L.D de vetores em um espaço vetorial
e se
é um vetor qualquer em
, então
também é L.D.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se
é linearmente dependente em
e
é qualquer vetor em
, então o conjunto ampliado
também é linearmente dependente. Vamos usar a definição de dependência linear: um conjunto
é L.D. se existem escalares não todos nulos com combinação linear nula.
Passo 2
Como
é L.D., existem escalares
, nem todos zero, tais que
Passo 3
Defina
. Então
Como nem todos os
(para
) são zero (já que algum dos
é não nulo), isso mostra que
é L.D. por definição.
Resposta
O conjunto
é linearmente dependente.