Exercício 9 Prove ou dê um contraexemplo: S ev1, v2, v3 e w1, w2, w3 são conjuntos L.I de vetores em um espaço vetorial V, então v1+w1, v2+w2, v3+w3 também é L.I.

Passo 1

O enunciado afirma que, em um espaço vetorial V, dados dois conjuntos
v1,v2,v3 e w1,w2,w3 ambos linearmente independentes, seria sempre verdade que
v1+w1,,v2+w2,,v3+w3 é também linearmente independente. Vamos mostrar que isso é falso, fornecendo um contraexemplo.

Passo 2

Escolhemos V = R^3 com a base canônica e1,e2,e3.

Passo 3

Definimos
vi = ei, wi = -,ei, i=1,2,3

Passo 4

Cada conjunto
v1,v2,v3 = e1,e2,e3
e
w1,w2,w3 = -e1,-e2,-e3
é linearmente independente, pois são múltiplos não nulos de vetores da base canônica.

Passo 5

Para cada i temos
vi + wi = ei + (-ei) = 0
Logo o conjunto de somas é
v1+w1,,v2+w2,,v3+w3 = 0,0,0

Passo 6

Qualquer conjunto que contenha o vetor zero é linearmente dependente (basta a combinação não trivial 1cdot 0 + 0cdot 0 + 0cdot 0 = 0). Portanto
v1+w1,,v2+w2,,v3+w3
é linearmente dependente.

Resposta

O enunciado é falso. Um contraexemplo em R^3 é
vi=ei e wi=-ei, cujas somas geram três vezes o vetor zero, formando um conjunto linearmente dependente.

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