Exercício 9 Prove ou dê um contraexemplo:
e
são conjuntos L.I de vetores em um espaço vetorial
, então
também é L.I.
Passo 1
O enunciado afirma que, em um espaço vetorial
, dados dois conjuntos
e
ambos linearmente independentes, seria sempre verdade que
é também linearmente independente. Vamos mostrar que isso é falso, fornecendo um contraexemplo.
Passo 2
Escolhemos
com a base canônica
.
Passo 3
Definimos
Passo 4
Cada conjunto
e
é linearmente independente, pois são múltiplos não nulos de vetores da base canônica.
e
é linearmente independente, pois são múltiplos não nulos de vetores da base canônica.
Passo 5
Para cada
temos
Logo o conjunto de somas é
Passo 6
Qualquer conjunto que contenha o vetor zero é linearmente dependente (basta a combinação não trivial
). Portanto
é linearmente dependente.
é linearmente dependente.
Resposta
O enunciado é falso. Um contraexemplo em
é
e
, cujas somas geram três vezes o vetor zero, formando um conjunto linearmente dependente.