Determinar o comportamento qualitativo das equações diferenciais autônomas abaixo:
c.
.
c.
Passo 1
O enunciado pede que a gente descreva qualitativamente as soluções da EDO autônoma
O conteúdo é análise de equações diferenciais autônomas: encontrar pontos de equilíbrio, estudar o sinal do campo de direções e deduzir comportamento assintótico.
Passo 2
Para achar os pontos de equilíbrio, impomos
o que dá
Portanto, há um único ponto de equilíbrio em
.
Passo 3
Vamos analisar o sinal de
:
Para temos
, logo
, o que faz
diminuir com o tempo.
Para temos
, logo
, o que faz
crescer com o tempo.
Para
Para
Passo 4
Como imediatamente à esquerda de
a solução decresce (se afasta de zero) e imediatamente à direita de
a solução cresce (também se afasta de zero), concluímos que
é um ponto de equilíbrio instável (repelidor).
Passo 5
Com base no sinal de
, as trajetórias se comportam assim:
- Se
, então cresce indefinidamente e
enquanto para
a solução se aproxima de zero:
- Se
, então decresce indefinidamente e
enquanto para
a solução também se aproxima de zero:
Resposta
A EDO tem um único ponto de equilíbrio em
, que é instável. As soluções com
partem de
quando
e crescem até
quando
. As soluções com
partem de
quando
e decrescem até
quando
.