Determinar o comportamento qualitativo das equações diferenciais autônomas abaixo:
c. \frac{d y}{d t}=e^{y}-1 \quad-\infty<y_{0}<\infty.

Passo 1

O enunciado pede que a gente descreva qualitativamente as soluções da EDO autônoma
\frac{dy}{dt} = e^{y} - 1,\qquad -\infty < y(0)=y_{0} < \infty.
O conteúdo é análise de equações diferenciais autônomas: encontrar pontos de equilíbrio, estudar o sinal do campo de direções e deduzir comportamento assintótico.

Passo 2

Para achar os pontos de equilíbrio, impomos
e^{y} - 1 = 0
o que dá
e^{y}=1 \quad\Longrightarrow\quad y=0.
Portanto, há um único ponto de equilíbrio em y=0.

Passo 3

Vamos analisar o sinal de f(y)=e^{y}-1:
Para y<0 temos e^{y}<1, logo f(y)<0, o que faz y diminuir com o tempo.
Para y>0 temos e^{y}>1, logo f(y)>0, o que faz y crescer com o tempo.

Passo 4

Como imediatamente à esquerda de y=0 a solução decresce (se afasta de zero) e imediatamente à direita de y=0 a solução cresce (também se afasta de zero), concluímos que y=0 é um ponto de equilíbrio instável (repelidor).

Passo 5

Com base no sinal de f(y), as trajetórias se comportam assim:
  • Se y_{0}>0, então y(t) cresce indefinidamente e
\lim_{t\to +\infty}y(t)=+\infty,
enquanto para t\to -\infty a solução se aproxima de zero:
\lim_{t\to -\infty}y(t)=0.
  • Se y_{0}<0, então y(t) decresce indefinidamente e
\lim_{t\to +\infty}y(t)=-\infty,
enquanto para t\to -\infty a solução também se aproxima de zero:
\lim_{t\to -\infty}y(t)=0.

Resposta

A EDO tem um único ponto de equilíbrio em y=0, que é instável. As soluções com y_{0}>0 partem de y=0 quando t\to -\infty e crescem até +\infty quando t\to +\infty. As soluções com y_{0}<0 partem de y=0 quando t\to -\infty e decrescem até -\infty quando t\to +\infty.

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