Determinar o comportamento qualitativo das equações diferenciais autônomas abaixo:
b.
.
b.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial autônoma
e pede o comportamento qualitativo das soluções para todo . Vamos usar análise de pontos de equilíbrio, diagrama de fase e classificação de estabilidade.
e pede o comportamento qualitativo das soluções para todo
Passo 2
Encontrar os pontos de equilíbrio resolvendo
As raízes são
(multiplicidade 2),
e
.
Passo 3
Analisar o sinal de
nos intervalos determinados pelos equilíbrios:
Para qualquer ,
. Logo o sinal de
vem de
:
Para qualquer
- Se
, então , logo . - Se
, então , logo . - Se
, então , logo . - Se
, então , logo .
Passo 4
Desenhar o diagrama de fases unidimensional ao longo da reta
:
para a seta aponta para a direita (cresce até
);
em e em
a seta aponta para a esquerda (decresce);
para a seta aponta para a direita (cresce sem limite).
Classificação:
para
em
para
Classificação:
-
: setas convergem de ambos os lados → equilíbrio estável. -
: setas divergem de ambos os lados → equilíbrio instável. -
: seta à esquerda aponta para o negativo (repulsor) e à direita aponta para (atrator) → semiestável.
Passo 5
Comportamento das soluções
conforme
:
- Se
, aumenta monotonicamente e tende a quando . - Se
, decresce e tende a quando . - Se
, decresce monotonicamente e tende a quando . - Se
, cresce e diverge para num tempo finito ou infinito. - Se
coincide com um ponto de equilíbrio, a solução permanece constante nesse valor.
Resposta
Equilíbrios em
, com
estável,
instável,
semiestável (atrai pela direita e repele pela esquerda). As soluções fluem conforme o diagrama de fase descrito:
para ou
tendem a
;
para tendem a
;
para divergem a
.
para
para
para