Determinar o comportamento qualitativo das equações diferenciais autônomas abaixo:
b. \frac{d y}{d t}=y^{2}\left(y^{2}-1\right), \quad-\infty<y_{0}<\infty.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial autônoma \displaystyle \frac{dy}{dt} = y^{2}\bigl(y^{2}-1\bigr)
e pede o comportamento qualitativo das soluções para todo y_{0}\in(-\infty,\infty). Vamos usar análise de pontos de equilíbrio, diagrama de fase e classificação de estabilidade.

Passo 2

Encontrar os pontos de equilíbrio resolvendo
y^{2}(y^{2}-1)=0.
As raízes são \displaystyle y=0 (multiplicidade 2), \displaystyle y=1 e \displaystyle y=-1.

Passo 3

Analisar o sinal de f(y)=y^{2}(y^{2}-1) nos intervalos determinados pelos equilíbrios:
Para qualquer y, y^{2}\ge0. Logo o sinal de f(y) vem de (y^{2}-1):
  • Se y<-1, então y^{2}-1>0, logo f(y)>0.
  • Se -1<y<0, então y^{2}-1<0, logo f(y)<0.
  • Se 0<y<1, então y^{2}-1<0, logo f(y)<0.
  • Se y>1, então y^{2}-1>0, logo f(y)>0.

Passo 4

Desenhar o diagrama de fases unidimensional ao longo da reta y:
para y<-1 a seta aponta para a direita (cresce até -1);
em -1<y<0 e em 0<y<1 a seta aponta para a esquerda (decresce);
para y>1 a seta aponta para a direita (cresce sem limite).
Classificação:
  • y=-1: setas convergem de ambos os lados → equilíbrio estável.
  • y=1: setas divergem de ambos os lados → equilíbrio instável.
  • y=0: seta à esquerda aponta para o negativo (repulsor) e à direita aponta para 0 (atrator) → semiestável.

Passo 5

Comportamento das soluções y(t) conforme y(0)=y_{0}:
  • Se y_{0}<-1, y(t) aumenta monotonicamente e tende a -1 quando t\to+\infty.
  • Se -1<y_{0}<0, y(t) decresce e tende a -1 quando t\to+\infty.
  • Se 0<y_{0}<1, y(t) decresce monotonicamente e tende a 0 quando t\to+\infty.
  • Se y_{0}>1, y(t) cresce e diverge para +\infty num tempo finito ou infinito.
  • Se y_{0} coincide com um ponto de equilíbrio, a solução permanece constante nesse valor.

Resposta

Equilíbrios em y=-1,0,1, com y=-1 estável, y=1 instável, y=0 semiestável (atrai pela direita e repele pela esquerda). As soluções fluem conforme o diagrama de fase descrito:
para y_{0}<-1 ou -1<y_{0}<0 tendem a -1;
para 0<y_{0}<1 tendem a 0;
para y_{0}>1 divergem a +\infty.

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