Determinar o comportamento qualitativo das equações diferenciais autônomas abaixo:
a. \frac{d y}{d t}=-k(y-1)^{2}, \quad k>0 e-\infty<y_{0}<\infty.

Passo 1

Temos a equação diferencial autônoma
\frac{dy}{dt} = -k\,(y-1)^{2},\quad k>0,
e queremos descrever qualitativamente como y(t) evolui a partir de uma condição inicial y(0)=y_{0}\in\mathbb{R}. O conteúdo central é análise de pontos de equilíbrio, sinais de dy/dt e eventual solução explícita por separação de variáveis para ver comportamento assintótico ou explosão.

Passo 2

Determinamos os pontos de equilíbrio resolvendo
-k\,(y-1)^{2}=0.
Isso só ocorre se (y-1)^{2}=0, ou seja, y=1
é o único ponto de equilíbrio.

Passo 3

Estudamos o sinal de f(y)=-k\,(y-1)^{2}: por ser um quadrado, (y-1)^{2}\ge0 para todo y, e como k>0, temos f(y)\le0 sempre, sendo estritamente negativo quando y\neq1. Logo toda solução é não crescente; só estaciona em y=1.

Passo 4

Analisando vizinhanças de y=1:
  • Se y>1, então dy/dt<0 e y(t) decresce em direção a 1.
  • Se y<1, então também dy/dt<0, mas isso faz y(t) se afastar para valores menores.
    Assim y=1 é estável por um lado (para y>1) e instável por outro (para y<1), isto é, semiestável.

Passo 5

Para ver detalhes temporais, separamos variáveis e integramos:
\int \frac{dy}{(y-1)^{2}} = -\int k\,dt.
À esquerda vem -1/(y-1), então
-\frac{1}{\,y-1\,}=-kt + C.
Invertendo,
\frac{1}{\,y-1\,}=kt + C',
onde C' = 1/(y_{0}-1). Logo
y(t)=1 + \frac{1}{\,kt + \frac{1}{y_{0}-1}\,}.

Passo 6

Dessa expressão obtemos:
  • Se y_{0}>1, então 1/(y_{0}-1)>0 e kt + 1/(y_{0}-1)\to+\infty quando t\to+\infty. Assim y(t)\to1^{+} assintoticamente em tempo infinito.
  • Se y_{0}<1, então 1/(y_{0}-1)<0 e existe T=-1/[k(y_{0}-1)]>0 tal que kt+1/(y_{0}-1)\to0^{-} quando t\to T^{-}. Nesse instante y(t)\to-\infty e a solução explode num tempo finito T.
  • Se y_{0}=1, então y(t)\equiv1.

Resposta

A única solução de equilíbrio é y=1, que é semiestável: para y_{0}>1 as soluções decrescem monotonicamente e tendem a 1 quando t\to\infty; para y_{0}<1 as soluções decrescem até explodir para -\infty em tempo finito; e para y_{0}=1 permanece constante.

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