Determinar o comportamento qualitativo das equações diferenciais autônomas abaixo:
a.
.
a.
Passo 1
Temos a equação diferencial autônoma
e queremos descrever qualitativamente como
evolui a partir de uma condição inicial
. O conteúdo central é análise de pontos de equilíbrio, sinais de
e eventual solução explícita por separação de variáveis para ver comportamento assintótico ou explosão.
Passo 2
Determinamos os pontos de equilíbrio resolvendo
Isso só ocorre se
, ou seja,
é o único ponto de equilíbrio.
é o único ponto de equilíbrio.
Passo 3
Estudamos o sinal de
: por ser um quadrado,
para todo
, e como
, temos
sempre, sendo estritamente negativo quando
. Logo toda solução é não crescente; só estaciona em
.
Passo 4
Analisando vizinhanças de
:
- Se
, então e decresce em direção a . - Se
, então também , mas isso faz se afastar para valores menores.
Assimé estável por um lado (para ) e instável por outro (para ), isto é, semiestável.
Passo 5
Para ver detalhes temporais, separamos variáveis e integramos:
À esquerda vem
, então
Invertendo,
onde
. Logo
Passo 6
Dessa expressão obtemos:
- Se
, então e quando . Assim assintoticamente em tempo infinito. - Se
, então e existe tal que quando . Nesse instante e a solução explode num tempo finito . - Se
, então .
Resposta
A única solução de equilíbrio é
, que é semiestável: para
as soluções decrescem monotonicamente e tendem a
quando
; para
as soluções decrescem até explodir para
em tempo finito; e para
permanece constante.