Determinar o comportamento qualitativo das equações diferenciais autônomas abaixo:
d.
.
d.
Passo 1
O enunciado pede para analisar qualitativamente a equação diferencial autônoma
com condição inicial
.
Conteúdo: análise de pontos de equilíbrio, estabilidade e sentido de variação de em cada região do eixo real.
Conteúdo: análise de pontos de equilíbrio, estabilidade e sentido de variação de
Passo 2
Determinar os pontos de equilíbrio resolvendo
Logo os equilíbrios são
Passo 3
Analisar o sinal de
nos intervalos
,
e
:
- Para
: , , ⇒ produto , logo (cresce). - Para
: , , ⇒ produto , logo (decresce). - Para
: , , ⇒ produto , logo (cresce).
Passo 4
Classificar estabilidade via
. Temos
Avaliação nos equilíbrios:
Passo 5
Descrever o comportamento para cada
:
-
ou : permanece constante (equilíbrio instável). -
: permanece constante (equilíbrio estável). -
: , cresce e tende a quando . -
: , decresce e tende a quando . -
: , cresce sem limite (tende a ).
Resposta
Equilíbrios em
; apenas
é estável e
são instáveis. Para
a solução converge monotonamente a
; para
a solução cresce para
; em
fica constante.