Determinar o comportamento qualitativo das equações diferenciais autônomas abaixo:
d. \frac{d y}{d t}=y(y-1)(y-2) \quad y_{0} \geq 0.

Passo 1

O enunciado pede para analisar qualitativamente a equação diferencial autônoma
\frac{dy}{dt}=y(y-1)(y-2),
com condição inicial y(0)=y_{0}\ge0.
Conteúdo: análise de pontos de equilíbrio, estabilidade e sentido de variação de y(t) em cada região do eixo real.

Passo 2

Determinar os pontos de equilíbrio resolvendo
y(y-1)(y-2)=0.
Logo os equilíbrios são
y^*=0,\quad y^*=1,\quad y^*=2.

Passo 3

Analisar o sinal de f(y)=y(y-1)(y-2) nos intervalos [0,1), (1,2) e (2,\infty):
  • Para 0<y<1: y>0, (y-1)<0, (y-2)<0 ⇒ produto (+)\cdot(-)\cdot(-)=+, logo \frac{dy}{dt}>0 (cresce).
  • Para 1<y<2: y>0, (y-1)>0, (y-2)<0 ⇒ produto (+)\cdot(+)\cdot(-)=-, logo \frac{dy}{dt}<0 (decresce).
  • Para y>2: y>0, (y-1)>0, (y-2)>0 ⇒ produto (+)\cdot(+)\cdot(+)=+, logo \frac{dy}{dt}>0 (cresce).

Passo 4

Classificar estabilidade via f'(y). Temos
f'(y)=\frac{d}{dy}\bigl[y(y-1)(y-2)\bigr] =3y^2-6y+2.
Avaliação nos equilíbrios:
f'(0)=2>0\quad(\text{instável}), \quad f'(1)=3-6+2=-1<0\quad(\text{estável}), \quad f'(2)=12-12+2=2>0\quad(\text{instável}).ááá

Passo 5

Descrever o comportamento para cada y_{0}\ge0:
  • y_{0}=0 ou y_{0}=2: permanece constante (equilíbrio instável).
  • y_{0}=1: permanece constante (equilíbrio estável).
  • 0<y_{0}<1: \frac{dy}{dt}>0, y(t) cresce e tende a 1 quando t\to\infty.
  • 1<y_{0}<2: \frac{dy}{dt}<0, y(t) decresce e tende a 1 quando t\to\infty.
  • y_{0}>2: \frac{dy}{dt}>0, y(t) cresce sem limite (tende a +\infty).

Resposta

Equilíbrios em y=0,1,2; apenas y=1 é estável e y=0,2 são instáveis. Para y_{0}\in(0,2) a solução converge monotonamente a y=1; para y_{0}>2 a solução cresce para +\infty; em y_{0}=0,1,2 fica constante.

Exercícios relacionados