Determine se as equações diferenciais abaixo são exatas ou não. Caso for exata, resolva. Se não for exata, verifique se a equação admite ou não fator integrante em x ou em y.
b. \left(3 x^{2}-2 x y+2\right) d x+\left(6 y^{2}-x^{2}+3\right) d y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0
com
M(x,y) = 3x^{2} - 2xy + 2 \quad\text{e}\quad N(x,y) = 6y^{2} - x^{2} + 3.
O conteúdo é EDO exata: devemos verificar se \partial M/\partial y = \partial N/\partial x. Se for exata, encontramos uma função potencial \psi(x,y) tal que \psi_x = M e \psi_y = N.

Passo 2

Calculando as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(3x^{2}-2xy+2) = -2x,
\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(6y^{2}-x^{2}+3) = -2x.
Como \partial M/\partial y = -2x = \partial N/\partial x, a equação é exata.

Passo 3

Para achar \psi(x,y), integramos M em relação a x:
\psi(x,y) = \int (3x^{2}-2xy+2)\,dx = x^{3} - x^{2}y + 2x + h(y),
onde h(y) é função a determinar.
Agora impomos \psi_{y} = N:
\psi_{y} = -\,x^{2} + h'(y) \stackrel{!}{=}6y^{2}-x^{2}+3 \;\Longrightarrow\; h'(y)=6y^{2}+3.
Integrando h'(y):
h(y)=\int(6y^{2}+3)\,dy =2y^{3}+3y.
Logo
\psi(x,y) = x^{3}-x^{2}y+2x+2y^{3}+3y.

Resposta

x^{3}-x^{2}y+2x+2y^{3}+3y = C,
com C constante de integração.

Exercícios relacionados