Determine se as equações diferenciais abaixo são exatas ou não. Caso for exata, resolva. Se não for exata, verifique se a equação admite ou não fator integrante em x ou em y.
c. \left(e^{x} \operatorname{sen}(y)-2 y \operatorname{sen}(x)\right)+\left(e^{x} \cos (y)+2 \cos (x)\right) d y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial \bigl(e^{x}\sin(y)-2y\sin(x)\bigr)\,dx+\bigl(e^{x}\cos(y)+2\cos(x)\bigr)\,dy=0.
Isso é do tipo M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0. O conteúdo aqui é equações diferenciais exatas e fatores integrantes.

Passo 2

Para verificar exatidão, calculamos
M(x,y)=e^x\sin(y)-2y\sin(x), \qquad N(x,y)=e^x\cos(y)+2\cos(x).
Então
\frac{\partial M}{\partial y} =e^x\cos(y)-2\sin(x), \qquad \frac{\partial N}{\partial x} =e^x\cos(y)-2\sin(x).
Como \partial M/\partial y=\partial N/\partial x, a equação é exata.

Passo 3

Por ser exata, existe uma função potencial \psi(x,y) tal que \psi_x=M e \psi_y=N. Integramos M em relação a x:
\psi(x,y) =\int\bigl(e^x\sin(y)-2y\sin(x)\bigr)\,dx =e^x\sin(y)+2y\cos(x)+h(y),
onde h(y) é função a determinar.

Passo 4

Derivamos \psi em relação a y e igualamos a N:
\psi_y =e^x\cos(y)+2\cos(x)+h'(y) \stackrel!=e^x\cos(y)+2\cos(x).
Isso implica h'(y)=0, logo h(y)=\text{constante}.

Resposta

e^x\sin(y)+2y\cos(x)=C.

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