Determine se as equações diferenciais abaixo são exatas ou não. Caso for exata, resolva. Se não for exata, verifique se a equação admite ou não fator integrante em
ou em
.
c.
’
c.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
.
Isso é do tipo . O conteúdo aqui é equações diferenciais exatas e fatores integrantes.
Isso é do tipo
Passo 2
Para verificar exatidão, calculamos
Então
Como
, a equação é exata.
Passo 3
Por ser exata, existe uma função potencial
tal que
e
. Integramos
em relação a
:
onde
é função a determinar.
Passo 4
Derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Isso implica
, logo
.