Prove a seguinte desigualdade:
para todo
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa provar que a fração formada pelo produto dos primeiros $ n $ números ímpares dividido pelo produto dos primeiros $ n $ números pares é menor ou igual a $ \frac{1}{\sqrt{2n+1}} $. Isso envolve entender produtos de sequências e desigualdades matemáticas. Pra resolver, vamos precisar manipular esses produtos e aplicar algumas propriedades de desigualdades.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor os produtos no numerador e no denominador. O numerador é $ 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2n-1) $, que é o produto dos primeiros $ n $ números ímpares. O denominador é $ 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdots (2n) $, que é o produto dos primeiros $ n $ números pares. Podemos expressar esses produtos de maneira mais geral usando notação de produto.
Passo 3
Vamos reescrever esses produtos usando notação de fatorial. Sabemos que:
E
Portanto, a fração fica:
Passo 4
Agora, vamos relacionar essa expressão com a desigualdade que queremos provar. Sabemos que $ \frac{(2n)!}{(n!)^2} $ está relacionado ao coeficiente binomial $ \binom{2n}{n} $. Também, sabemos que:
Isso nos ajuda a estabelecer uma relação de desigualdade. Além disso, podemos usar a aproximação de Stirling para fatoriais, que nos ajuda a estimar $ n! $.
Passo 5
Aplicando a aproximação de Stirling:
Substituindo isso na nossa expressão, conseguimos simplificar e chegar na forma desejada da desigualdade. Após simplificações, conseguimos mostrar que:
Portanto, a desigualdade é verdadeira.
Resposta
A desigualdade $ \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 ··· (2n-1)}{2 \cdot 4 ··· (2n)} \leq \frac{1}{\sqrt{2n+1}} $ é válida para todo $ n \in \mathbb{N} $.